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【摘要】据现行高中数学几何教科书提到的法向量的定义：法向量指的是垂直于面的向量；因而法向量除了具有一般向量的数形特性既有大小又有方向外，还具有自身独特具体的深层次平面性；通过法向量使抽象的立体几何图形数量化，以便依靠运算就能解决几何问题。从而简化了几何解题的立体性和复杂性。本文将通过一些具体题例来论证法向量在常见几何问题点与面，线与面，面与面的应用。
【关键词】法向量 平面性 数量化 几何解题应用
事实上利用法向量的方法处理立体几何的空间问题比传统的综合方法有着明显的优势，特别是涉及面中垂直平行的证明，角度与长度的计算问题，可以避免构图和推理的复杂过程，减少了解题琐碎的技巧，降低了解题的难度，因而在高考数学解题中广受老师和学生们的喜爱。
1.法向量的求法，任何向量都是建立在空间坐标系的基础上
（1）设某面的法向量为n（x，y，z）
（2）因为法向量垂直于面内的任意一条直线，所以在此面内任意找到两条相交直线（如：AB（x1，y1，z1）， BC（x2，y2，z2））
有：n·AB=xx1+yy1+zz1=0
n·BC=xx2+yy2+zz2=0
解方程后得出相对关系后，由于两个方程涉及三个未知量因而要赋一个量的值即可确定此法向量； 但某些情况下如垂直坐标系建立后，法向量可以直接设出。
2.用向量法解题
2.1 点与面的距离
如图1求P到面ABCD的距离，设面ABCD的法向量为n，O为P在面上的投影点，OP即为P到面ABCD的距离。
O为点P在面ABCD 上的投影点，即线OP垂直于面ABCD 故n为法向量
图1
则OP便是点P到面ABCD的距离，又
例1 如图2所示，长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，AB=4，AD=6，t=5=4 ，M 是A1C1 的中点，P 在线段 BC 上，且 |CP|=2 ， Q 是 DD1 中点，求： M 到平面 AB1P 的距离。
2.2 线与面的关系
A线在面内，无数个交点
B线不在面内下，与面相交（1个交点），与面平行（无交点）
根据夹角大小可知
1）当夹角α为90度时即O点与A点重合，则直线AP垂直相交于平面ABCD
此外根据平行传递性，如另有一条直线EF//OP ，而OP面ABCD ，则EF也垂直于面ABCD
2） 当夹角α为0度时且至少有一个点在平面内 则直线AP点在平面ABCD内
3） 当夹角为0度且无任何交点，则直线平行于平面，同理如果证明线与面平行 ，那么证线与面的法向量垂直即可
例2 如图，在长方体中ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB∶AD∶AA1=1∶2∶4
（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；
（2）证明AF⊥平面A1ED
解： 以A为坐标原点，AB所在直线为X轴，AD所在直线为Y轴建立空间直角坐标系（如图所示），设AB=1，依题意得D（0，2，0），F（1，2，1），A1（0，0，4），E（1，32，0）
2.3 面与面的关系；相交，平行，垂直
如图2 所示，两个不同的平面α和β相交于直线l，平面α和β的法向量分别为向量n和m，其中n与平面α交于点C，m与平面β交于点B ，且两向量相交于点A ， D 为面ABC与直线l的交点，由图知，夹角∠CDB为二面角α-l-β的平面角 且∠CDB+∠CAB=180°
故根据法向量AC与AB夹角 即可求出二面角
（1）如果两个法向量n和m平行，无交点A，假设两个面还相交于直线l，则平面AC⊥DB内AC垂直与CD，又由于法向量平行，则AC⊥DB，故AC面BCD（交于点C）即A点不在平面ABCD内，相互矛盾，故两个面不相交，所以两个不同的面只能平行
（2）如果两个法向量n和m垂直，则二面角为90度，即CD垂直与DB，故在平面ABCD中CD//AB，则CD⊥面β ，从而α⊥β
例3 已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小。
解：如图建立空间直角坐标系，AC=（-1，1，0），AB1=（0，1，-1）
所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为arccos33或π-arccos33。
注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量通常有两个相反的方向别，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后应该根据这个二面角的实际形态确定其大小。
例4 已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，
求证：平面A1EF∥平面B1MC。
证明：如图建立空间直角坐标系，
所以平面A1EF∥平面B1MC。
注：建立好的平面坐标系，从而简化求得每个面的法向量的计算量，快速得出法向量平行的前提条件。
综上所述，空间法向量的前提条件是根据题目特点建立空间直角坐标系，求出相关点或线的坐标，然后通过向量运算得出结论，通常在考试中都是利用解答大题的形式考查。关于法向量，只要把好方向，细致计算，就可以以不变应万变，强化通性通法，以帮助学生比较清晰容易地找到解题的思路。这是笔者个人在教学的一些心得，望同行能给予宝贵意见或建议，共同探讨，共同进步。
【关键词】法向量 平面性 数量化 几何解题应用
事实上利用法向量的方法处理立体几何的空间问题比传统的综合方法有着明显的优势，特别是涉及面中垂直平行的证明，角度与长度的计算问题，可以避免构图和推理的复杂过程，减少了解题琐碎的技巧，降低了解题的难度，因而在高考数学解题中广受老师和学生们的喜爱。
1.法向量的求法，任何向量都是建立在空间坐标系的基础上
（1）设某面的法向量为n（x，y，z）
（2）因为法向量垂直于面内的任意一条直线，所以在此面内任意找到两条相交直线（如：AB（x1，y1，z1）， BC（x2，y2，z2））
有：n·AB=xx1+yy1+zz1=0
n·BC=xx2+yy2+zz2=0
解方程后得出相对关系后，由于两个方程涉及三个未知量因而要赋一个量的值即可确定此法向量； 但某些情况下如垂直坐标系建立后，法向量可以直接设出。
2.用向量法解题
2.1 点与面的距离
如图1求P到面ABCD的距离，设面ABCD的法向量为n，O为P在面上的投影点，OP即为P到面ABCD的距离。
O为点P在面ABCD 上的投影点，即线OP垂直于面ABCD 故n为法向量
图1
则OP便是点P到面ABCD的距离，又
例1 如图2所示，长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，AB=4，AD=6，t=5=4 ，M 是A1C1 的中点，P 在线段 BC 上，且 |CP|=2 ， Q 是 DD1 中点，求： M 到平面 AB1P 的距离。
2.2 线与面的关系
A线在面内，无数个交点
B线不在面内下，与面相交（1个交点），与面平行（无交点）
根据夹角大小可知
1）当夹角α为90度时即O点与A点重合，则直线AP垂直相交于平面ABCD
此外根据平行传递性，如另有一条直线EF//OP ，而OP面ABCD ，则EF也垂直于面ABCD
2） 当夹角α为0度时且至少有一个点在平面内 则直线AP点在平面ABCD内
3） 当夹角为0度且无任何交点，则直线平行于平面，同理如果证明线与面平行 ，那么证线与面的法向量垂直即可
例2 如图，在长方体中ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC，CC1上的点，CF=AB=2CE，AB∶AD∶AA1=1∶2∶4
（1）求异面直线EF与A1D所成角的余弦值；
（2）证明AF⊥平面A1ED
解： 以A为坐标原点，AB所在直线为X轴，AD所在直线为Y轴建立空间直角坐标系（如图所示），设AB=1，依题意得D（0，2，0），F（1，2，1），A1（0，0，4），E（1，32，0）
2.3 面与面的关系；相交，平行，垂直
如图2 所示，两个不同的平面α和β相交于直线l，平面α和β的法向量分别为向量n和m，其中n与平面α交于点C，m与平面β交于点B ，且两向量相交于点A ， D 为面ABC与直线l的交点，由图知，夹角∠CDB为二面角α-l-β的平面角 且∠CDB+∠CAB=180°
故根据法向量AC与AB夹角 即可求出二面角
（1）如果两个法向量n和m平行，无交点A，假设两个面还相交于直线l，则平面AC⊥DB内AC垂直与CD，又由于法向量平行，则AC⊥DB，故AC面BCD（交于点C）即A点不在平面ABCD内，相互矛盾，故两个面不相交，所以两个不同的面只能平行
（2）如果两个法向量n和m垂直，则二面角为90度，即CD垂直与DB，故在平面ABCD中CD//AB，则CD⊥面β ，从而α⊥β
例3 已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小。
解：如图建立空间直角坐标系，AC=（-1，1，0），AB1=（0，1，-1）
所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为arccos33或π-arccos33。
注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量通常有两个相反的方向别，取的方向不同求出来的角度就不同，所以最后应该根据这个二面角的实际形态确定其大小。
例4 已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，
求证：平面A1EF∥平面B1MC。
证明：如图建立空间直角坐标系，
所以平面A1EF∥平面B1MC。
注：建立好的平面坐标系，从而简化求得每个面的法向量的计算量，快速得出法向量平行的前提条件。
综上所述，空间法向量的前提条件是根据题目特点建立空间直角坐标系，求出相关点或线的坐标，然后通过向量运算得出结论，通常在考试中都是利用解答大题的形式考查。关于法向量，只要把好方向，细致计算，就可以以不变应万变，强化通性通法，以帮助学生比较清晰容易地找到解题的思路。这是笔者个人在教学的一些心得，望同行能给予宝贵意见或建议，共同探讨，共同进步。