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【摘要】勒贝格积分是实变函数的中心内容.在它的学习过程中，面临的一个重要问题就是它的计算.本文讨论勒贝格积分的计算问题，利用与勒贝格积分计算有关的三种等价定义（集合测度有限，函数有界的情形、非负可测函数的情形、一般可测函数的情形）、五个性质、四个定理（逐项积分定理、定理、定理、微积分基本定理）及一种方法（分部积分法），总结出计算积分的十三种方法，并通过举例来总结其运用规律。
【关键词】勒贝格积分；黎曼积分；可积；可测；计算
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）01-0111-03
引言
勒贝格积分是实变函数的中心内容。在勒贝格积分（以下简称积分）的学习过程中，面临的一个重要问题就是它的计算。尽管黎曼积分（以下简称积分）理论中的牛顿-莱布尼茨公式（-公式）可推广到积分中来，但利用找原函数的方法来解决积分的计算很难奏效。本文通过讨论总结积分的十三种计算方法，来解决一些不同类型的勒贝格积分的计算问题，为勒贝格积分的学习提供一些帮助。
§1 与计算积分有关的定义、性质、定理及方法
1.1 有关的定义
直接用定义来计算积分当然不失为一个有用的方法。积分有多种等价的定义，通常定义勒贝格积分的方法主要有三种：
定义1 集合测度有限，函数有界的情形：
设是上的有界可测函数。作的任意分割：=，其中为互不相交的非空可测子集.设，=，则的大和及小和为，，设在上的上下积分为（记为），（记为），若，则称在上是可积的，且称该共同值为在上的积分，记为，即。
定义2 当函数非负可测时，定义积分：
设是中可测集，上的非负可测函数的积分定义为
{是上非负简单函数，满足，}，若（这里的积分可以是+），则称为上的可积函数，或称在上可积。由定理知，对于非负渐升可测函数列来说，积分运算与极限运算的次序是可以交换的。此外，由于非负可测函数是渐升的非负简单函数列的极限函数，因此，非负可测函数的积分就是简单函数的积分列的极限。设{}是可测集上的非负可测函数列，则有。
定义3 一般可测函数情形：
为了方便说明，首先给出两个特殊函数的定义：
设定义在上，记
，
称，为的正部函数，负部函数.设是可测集上的可测函数，若积分，中至少有一个是有限值，则称为在上的积分。
1.2 有关的性质
勒贝格积分的性质有很多，与计算有关的性质现总结如下：
性质1 两个几乎处处相等的函数，有相同的可积性和相同的积分值.这是计算积分的一个非常有用的方法，通常可以把复杂的问题变得很简单。
性质2 若在上可积，则它必同时可积，且有相同的积分值。这条性质非常重要，有了它可借助求积分的那些方法来求积分，通常与性质1结合使用。
性质3 设是上非负有限函数且。如果在上的广义积分存在（或可积），则在上可积，且二者的值相同。
注1 若无非负条件，则上面结论应为“在上可积的充要条件是||在上广义可积且二者有相同的值”。
注2 对无穷限广义积分，类似的结论同样是成立的，即：设是上非负无限函数且。如果在上的广义积分存在（或可积），则在上可积，且二者的值相同。
注3 对于非负连续（瑕点除外）函数，广义积分总与积分等值（可为）。
性质4 （积分的可列可加性）
设是可测集，，若在上可积，则在每个上可积，且。
这个性质的用法是根据函数的特点将集合划分为有限个或可列个互不相交的可测子集的并，而函数在每个子集上的积分容易算出。
性质5 利用积分的极限定理可以研究积分中的“参变积分”。
设是一区间，是定义于上的实函数，对每个固定的，关于在上可积，（1）是定义于上的有限实函数。
若偏导数存在，且存在上的可积函数，使，则（2）
在实际问题中，往往直接用（1）式求很困难，而先从（2）式求却比较容易，我们可以先求后再关于积分。
1.3 有关的定理和方法
勒贝格积分的定理有很多，与计算有关的定理及方法现总结如下：
定理1 （逐项积分定理）
设{}是可测集上一列非负可测函数，则。
L逐项积分定理无须验证函数项级数一致收敛，因此用起来很方便。
定理2 （定理）
设{}是可测集上一列非负可测函数，且在上有
，令，则。
这个定理比用非负可测函数积分的定义计算积分要灵活的多。
定理3 （定理）
设在上非负可测或可积，则
.
定理通常用于解决重积分问题，利用这个定理将重积分化为累次积分，通过交换积分次序而使计算变得简单。
定理4 （微积分基本定理）
若是上的绝对连续函数，则。
这就是积分中公式在积分中的推广，但在利用这个定理之前首先要验证是绝对连续函数。
方法 （分部积分法）设在上绝对连续，在上可积，且，则。
§2 方法的应用规律
例1 设为[0，1]上的狄利克雷函数
，这里为全体有理数所成的集，计算在上的积分。
解法一 （利用定义1）
因为为简单函数，在上有界可测，因而可积，可以用定义1来求解。
令，则={，}是上的一个可测分划，对应的大，小和数为，因而
。
本例说明，用定义1求积分时，如果能找到可测分法，使大小和数相等，则该和数就是所求的积分.当然，这样的分法不见得总能找得到，但如果能选取一列可测分划{}，使得，则这个共同值便是所求的积分。 解法二 （利用性质1）
此外，我们发现，所以于，利用性质1很容易就可得。
通过此例可以发现，对于一个函数，如果在其定义区间上可以找到一个与它几乎处处相等的函数，而所找的这个函数其积分易求，则用性质1来求解较为容易。
在介绍下面的例题之前，先给出一个十分有趣而又著名的集——康托（）集.首先给出它的构造：
将闭区间三等分，挖掉中间的一个开区间；把剩下的两个闭区间和分别再三等分，并各挖掉中间的开区间；对余下的四个闭区间；再分别将它们三等分，并各挖去中间的开区间，；如此进行下去，第次去掉的开区间是。令（），称为康托集。
由的构造过程知，是一个闭集。
例2 设在集上定义函数，而在的余集中长为的构成区间上定义为（），试求的积分值。
解法一 （利用定义2）
在上非负可测不难说明，且注意到不是有界函数，所以可用定义2。
记为集的构造中第次挖去的个长度为的构成区间之和集，，而，
此时定义中取，由定义2有
。
解法二 （利用逐项积分定理）
此例也可由定理1（逐项积分定理）来计算：
令，的意义同上，则，
由定理1得
。
解法三 （利用定理）
令
则{}满足定理条件，故有
。
与解法一比较，这里{}的选择比解法一中的函数列{ }简单，而解法一中的函数列{ }只是满足定理的{}的一种特例。
解法四 （利用积分的可列可加性）
记由性质4得
。
显然，从此例可以发现利用逐项积分定理或定理或积分的可列可加性来计算有关分段函数的问题比用定义简单的多，只是要找到适当的函数列或划分好可测子集。
例3 令其中是中完全集，=-，计算。
解：由于，所以，而
，，由性质1和性质2得
。
由此例可得，对于积分，如果能将其转化为积分，利用性质1和性质2，计算会显得简单易行.又如下例：
例 设，计算。
解：由于，所以于[0，1]，由性质1和性质2
===。
通过这两个例子，我们发现通过积分来求解积分的计算问题，是一个简单而又行之有效的方法。
众所周知，积分是通常的积分的推广，而非广义积分的推广，但性质3是成立的.对于性质3的运用，现举以下例子加以说明：
例4 设，其中为集，计算。
解：由于集的测度为零，即，由性质1和性质3得
。
注：例4中的函数不是可积的，因为它在上虽是几乎处处连续的，但它在上无界。但却是广义上可积的，且积分值也为，下例则不同。
例 设，求。
解：由于，所以于[0，1]，故有：
。
本例中||是广义可积的，但却不是广义可积的，因对任，在上不可积。所以，虽然为可积，并无两种积分值相等的结论。
对于性质4（积分的可列可加性）的运用，现举下面的例子以充分说明：
例5 若在集上定义函数，而在的邻接区间上函数的图形是以这些邻接区间的长为直径所作的圆周的上半圆周，试计算（）。
解：用表示集的邻接区间，不妨设这些邻接区间按长度减小的次序来排列（相同长度的按从左到右顺序），于是由性质4有
，由于，而在上的图形是以邻接区间的长为直径的上半圆周，故半径为，且在的积分等于半径为的半圆面，于是 ，
由集的构造知：（个）；（个）；（个）；
因此 。
性质4的用法是根据函数的特点将集合划分成有限个或可列个互不相交的可测子集的并，而函数在每个子集上的积分容易算出.不难知道，本例的函数在上是可积的。此例计算虽烦琐，但它具有代表性。当集换成正测度的集类的疏朗完备集时，按上面方法定义的函数不再是可积的，但仍可按上面的方法计算出积分来。
对于定理1（逐项积分定理）的应用，现举以下更具代表性的例子加以说明：
例6 求积分。
解：当时，有泰勒展开式，
所以，令，，显然{}为上的非负可测函数列，且，
由逐项积分定理得
。
逐项积分定理无须验证函数项级数一致收敛，因此用起来很方便。
对于重积分的问题，我们一般采用定理来解决。如：
例7 求积分。
解：被积分函数显然在积分域上非负可测，故由定理得
化重积分为累次积分是定理的通常用法，利用定理作为桥梁，把某些积分当作累次积分来看，通过交换积分次序会使计算变得容易。如下例：
§3 个人见解
勒贝格积分的计算方法有很多，对于不同类型的题目其计算方法仍有一定的规律性，若掌握了这些方法的运用规律，对计算积分就显得简单易行。在此，我通过总结得出十三种计算积分的方法，并举了十个不同类型且具有代表性的例题来说明其运算规律，希望对积分的学习有所帮助。
当然，勒贝格积分的计算方法远不止这些，以上所列举的是一些在学习过中较为常用且简单的方法.用不同的方法来计算积分繁简不一，但总的来说，利用积分的性质及定理来计算比用原始的定义来计算简单的多，而且积分是通常的积分的推广，积分的有些计算方法与积分类似，因此尽可能的利用积分这个现成的工具应该是较好的选择.
参考文献
[1]程其襄，张奠宙等.实变函数与泛函分析基础（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]于宗义.实变函数论[M].济南：山东大学出版社，1999.8（2003.8重印）.
[3]曹广富.实变函数论[M].北京：高等教育出版社.海德堡：施普林格出版社，2000.5.
【关键词】勒贝格积分；黎曼积分；可积；可测；计算
【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2014）01-0111-03
引言
勒贝格积分是实变函数的中心内容。在勒贝格积分（以下简称积分）的学习过程中，面临的一个重要问题就是它的计算。尽管黎曼积分（以下简称积分）理论中的牛顿-莱布尼茨公式（-公式）可推广到积分中来，但利用找原函数的方法来解决积分的计算很难奏效。本文通过讨论总结积分的十三种计算方法，来解决一些不同类型的勒贝格积分的计算问题，为勒贝格积分的学习提供一些帮助。
§1 与计算积分有关的定义、性质、定理及方法
1.1 有关的定义
直接用定义来计算积分当然不失为一个有用的方法。积分有多种等价的定义，通常定义勒贝格积分的方法主要有三种：
定义1 集合测度有限，函数有界的情形：
设是上的有界可测函数。作的任意分割：=，其中为互不相交的非空可测子集.设，=，则的大和及小和为，，设在上的上下积分为（记为），（记为），若，则称在上是可积的，且称该共同值为在上的积分，记为，即。
定义2 当函数非负可测时，定义积分：
设是中可测集，上的非负可测函数的积分定义为
{是上非负简单函数，满足，}，若（这里的积分可以是+），则称为上的可积函数，或称在上可积。由定理知，对于非负渐升可测函数列来说，积分运算与极限运算的次序是可以交换的。此外，由于非负可测函数是渐升的非负简单函数列的极限函数，因此，非负可测函数的积分就是简单函数的积分列的极限。设{}是可测集上的非负可测函数列，则有。
定义3 一般可测函数情形：
为了方便说明，首先给出两个特殊函数的定义：
设定义在上，记
，
称，为的正部函数，负部函数.设是可测集上的可测函数，若积分，中至少有一个是有限值，则称为在上的积分。
1.2 有关的性质
勒贝格积分的性质有很多，与计算有关的性质现总结如下：
性质1 两个几乎处处相等的函数，有相同的可积性和相同的积分值.这是计算积分的一个非常有用的方法，通常可以把复杂的问题变得很简单。
性质2 若在上可积，则它必同时可积，且有相同的积分值。这条性质非常重要，有了它可借助求积分的那些方法来求积分，通常与性质1结合使用。
性质3 设是上非负有限函数且。如果在上的广义积分存在（或可积），则在上可积，且二者的值相同。
注1 若无非负条件，则上面结论应为“在上可积的充要条件是||在上广义可积且二者有相同的值”。
注2 对无穷限广义积分，类似的结论同样是成立的，即：设是上非负无限函数且。如果在上的广义积分存在（或可积），则在上可积，且二者的值相同。
注3 对于非负连续（瑕点除外）函数，广义积分总与积分等值（可为）。
性质4 （积分的可列可加性）
设是可测集，，若在上可积，则在每个上可积，且。
这个性质的用法是根据函数的特点将集合划分为有限个或可列个互不相交的可测子集的并，而函数在每个子集上的积分容易算出。
性质5 利用积分的极限定理可以研究积分中的“参变积分”。
设是一区间，是定义于上的实函数，对每个固定的，关于在上可积，（1）是定义于上的有限实函数。
若偏导数存在，且存在上的可积函数，使，则（2）
在实际问题中，往往直接用（1）式求很困难，而先从（2）式求却比较容易，我们可以先求后再关于积分。
1.3 有关的定理和方法
勒贝格积分的定理有很多，与计算有关的定理及方法现总结如下：
定理1 （逐项积分定理）
设{}是可测集上一列非负可测函数，则。
L逐项积分定理无须验证函数项级数一致收敛，因此用起来很方便。
定理2 （定理）
设{}是可测集上一列非负可测函数，且在上有
，令，则。
这个定理比用非负可测函数积分的定义计算积分要灵活的多。
定理3 （定理）
设在上非负可测或可积，则
.
定理通常用于解决重积分问题，利用这个定理将重积分化为累次积分，通过交换积分次序而使计算变得简单。
定理4 （微积分基本定理）
若是上的绝对连续函数，则。
这就是积分中公式在积分中的推广，但在利用这个定理之前首先要验证是绝对连续函数。
方法 （分部积分法）设在上绝对连续，在上可积，且，则。
§2 方法的应用规律
例1 设为[0，1]上的狄利克雷函数
，这里为全体有理数所成的集，计算在上的积分。
解法一 （利用定义1）
因为为简单函数，在上有界可测，因而可积，可以用定义1来求解。
令，则={，}是上的一个可测分划，对应的大，小和数为，因而
。
本例说明，用定义1求积分时，如果能找到可测分法，使大小和数相等，则该和数就是所求的积分.当然，这样的分法不见得总能找得到，但如果能选取一列可测分划{}，使得，则这个共同值便是所求的积分。 解法二 （利用性质1）
此外，我们发现，所以于，利用性质1很容易就可得。
通过此例可以发现，对于一个函数，如果在其定义区间上可以找到一个与它几乎处处相等的函数，而所找的这个函数其积分易求，则用性质1来求解较为容易。
在介绍下面的例题之前，先给出一个十分有趣而又著名的集——康托（）集.首先给出它的构造：
将闭区间三等分，挖掉中间的一个开区间；把剩下的两个闭区间和分别再三等分，并各挖掉中间的开区间；对余下的四个闭区间；再分别将它们三等分，并各挖去中间的开区间，；如此进行下去，第次去掉的开区间是。令（），称为康托集。
由的构造过程知，是一个闭集。
例2 设在集上定义函数，而在的余集中长为的构成区间上定义为（），试求的积分值。
解法一 （利用定义2）
在上非负可测不难说明，且注意到不是有界函数，所以可用定义2。
记为集的构造中第次挖去的个长度为的构成区间之和集，，而，
此时定义中取，由定义2有
。
解法二 （利用逐项积分定理）
此例也可由定理1（逐项积分定理）来计算：
令，的意义同上，则，
由定理1得
。
解法三 （利用定理）
令
则{}满足定理条件，故有
。
与解法一比较，这里{}的选择比解法一中的函数列{ }简单，而解法一中的函数列{ }只是满足定理的{}的一种特例。
解法四 （利用积分的可列可加性）
记由性质4得
。
显然，从此例可以发现利用逐项积分定理或定理或积分的可列可加性来计算有关分段函数的问题比用定义简单的多，只是要找到适当的函数列或划分好可测子集。
例3 令其中是中完全集，=-，计算。
解：由于，所以，而
，，由性质1和性质2得
。
由此例可得，对于积分，如果能将其转化为积分，利用性质1和性质2，计算会显得简单易行.又如下例：
例 设，计算。
解：由于，所以于[0，1]，由性质1和性质2
===。
通过这两个例子，我们发现通过积分来求解积分的计算问题，是一个简单而又行之有效的方法。
众所周知，积分是通常的积分的推广，而非广义积分的推广，但性质3是成立的.对于性质3的运用，现举以下例子加以说明：
例4 设，其中为集，计算。
解：由于集的测度为零，即，由性质1和性质3得
。
注：例4中的函数不是可积的，因为它在上虽是几乎处处连续的，但它在上无界。但却是广义上可积的，且积分值也为，下例则不同。
例 设，求。
解：由于，所以于[0，1]，故有：
。
本例中||是广义可积的，但却不是广义可积的，因对任，在上不可积。所以，虽然为可积，并无两种积分值相等的结论。
对于性质4（积分的可列可加性）的运用，现举下面的例子以充分说明：
例5 若在集上定义函数，而在的邻接区间上函数的图形是以这些邻接区间的长为直径所作的圆周的上半圆周，试计算（）。
解：用表示集的邻接区间，不妨设这些邻接区间按长度减小的次序来排列（相同长度的按从左到右顺序），于是由性质4有
，由于，而在上的图形是以邻接区间的长为直径的上半圆周，故半径为，且在的积分等于半径为的半圆面，于是 ，
由集的构造知：（个）；（个）；（个）；
因此 。
性质4的用法是根据函数的特点将集合划分成有限个或可列个互不相交的可测子集的并，而函数在每个子集上的积分容易算出.不难知道，本例的函数在上是可积的。此例计算虽烦琐，但它具有代表性。当集换成正测度的集类的疏朗完备集时，按上面方法定义的函数不再是可积的，但仍可按上面的方法计算出积分来。
对于定理1（逐项积分定理）的应用，现举以下更具代表性的例子加以说明：
例6 求积分。
解：当时，有泰勒展开式，
所以，令，，显然{}为上的非负可测函数列，且，
由逐项积分定理得
。
逐项积分定理无须验证函数项级数一致收敛，因此用起来很方便。
对于重积分的问题，我们一般采用定理来解决。如：
例7 求积分。
解：被积分函数显然在积分域上非负可测，故由定理得
化重积分为累次积分是定理的通常用法，利用定理作为桥梁，把某些积分当作累次积分来看，通过交换积分次序会使计算变得容易。如下例：
§3 个人见解
勒贝格积分的计算方法有很多，对于不同类型的题目其计算方法仍有一定的规律性，若掌握了这些方法的运用规律，对计算积分就显得简单易行。在此，我通过总结得出十三种计算积分的方法，并举了十个不同类型且具有代表性的例题来说明其运算规律，希望对积分的学习有所帮助。
当然，勒贝格积分的计算方法远不止这些，以上所列举的是一些在学习过中较为常用且简单的方法.用不同的方法来计算积分繁简不一，但总的来说，利用积分的性质及定理来计算比用原始的定义来计算简单的多，而且积分是通常的积分的推广，积分的有些计算方法与积分类似，因此尽可能的利用积分这个现成的工具应该是较好的选择.
参考文献
[1]程其襄，张奠宙等.实变函数与泛函分析基础（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]于宗义.实变函数论[M].济南：山东大学出版社，1999.8（2003.8重印）.
[3]曹广富.实变函数论[M].北京：高等教育出版社.海德堡：施普林格出版社，2000.5.