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课本中的习题，具有典型性、示范性和探索性，因此，深入探究每一道习题，充分挖掘其内在的数学思想与方法，发挥典型习题应有的功能与价值，对调动学生的学习积极性，培养学生的思维品质，提高学生的数学素养，同时教师自己也能得到发展。本文拟就浙教版《数学》九年级上册P.118作业题B组第5题，谈谈自己的一些思考。
原题 有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上。问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
为方便起见,将参考答案摘录如下：设正方形PQMN
为加工成的正方形零件,边QM在BC上,顶点P、N分别
在AB、AC上。△ABC的高AD与边PN相交于点E，
设正方形的边长为xmm
∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC∴
即
解得x=48
答：加工成的正方形零件的边长是48mm。
思考一 课本中给出的三角形余料ABC的图形不够标准，与题意产生矛盾，缺乏严谨性和科学性
我认为此题有一个小小的瑕疵，若不仔细观察，
动手测量、计算和必要的推理，还真不容易发现问
题所在，可能是教材编写者把注意力集中在知识点
相似三角形性质的巩固和运用上，忽视了对图形的
考虑，忽视了对数据的研究，没有将图形与数据有
机结合起来，所给的△ABC中的∠BAC=Rt∠,这是不可能的，
是错误的。理由简单如下：如图1，以BC为直径作⊙，如果∠BAC=Rt∠,
则点A必定在圆上，显然BC边上的高AD≤BC/2=60mm，这与题意高AD=80mm
相矛盾，因此点A必在圆外，所以∠BAC是一个锐角不可能是Rt∠。也许有人认为这是小题大做吹毛求疵，不必大惊小怪，对求解也不会产生多大的影响，不值得研究讨论。可这毕竟是教材，里边的习题，都是精挑细选，反复斟酌，最后敲定的，是众多专家智慧的结晶，应该力争完美，做到准确无误。
思考二、满足题意的三角形余料ABC的图形究竟应该怎样？是否都有内接正方形？
定义 四个顶点都在一个三角形的边上的正方形叫做三角形的内接正方形。
根据课本题目给出的条件，满足BC=120mm，BC边上高AD=80mm，可知点A的位置无法确定，由于A点的位置不同，得到的三角形余料ABC的形状也不同，因此需要分情况进行探讨：
1. 如图2，当垂足D落在线段BC内时，即△ABC是锐角三角形，在每一条边上均可画出一个正方形，故锐角三角形有三个内接正方形。
2. 如图3，当垂足D落在线段BC的两个端点时，即△ABC是直角三角形，由于两直角边上的正方形互相重合，故直角三角形有两个内接正方形。
3. 如图4，当垂足D落在线段BC延长线上时（或CB的延长线），即△ABC是钝角三角形，这时使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上的正方形并不存在，只有在最长边上可以画出一个内接正方形，故钝角三角形只有一个内接正方形
根据以上分析及教材编写者意图，结合参考答案，建议课本将题目和图形修改如下：
修改题 有一块锐角三角形余料ABC，如图，它的边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上。⑴加工成的正方形零件的边长是多少mm？
⑵如果BC=a，高AD=h，问加工成的正方形零件的边长又是多少mm？
修改意图：使题意明确，图形符合要求，更具针对性，
做到数据图形两结合。特别是追加的第（2）个问题，促使学生去探求内接正方形边长计算的一般方法，体现从特殊到一般的数学思想，更能使学生明确对于锐角三角形只要已知一边及这一边上的高，即可求出这一边上的内接正方形的边长的结论。
可设内接正方形边长为x，依据相似三角形的性质和等比性质，
有
所以 或
思考三 课本中给出的三角形余料ABC的内接正方形PQMN是怎样加工出来的？根据三角形余料ABC的不同形状，怎样使加工成的正方形零件最大。现以正方形的边QM落在BC边上为例，一一进行探讨。
1.锐角三角形余料ABC中BC边上的最大正方形
方法（1）利用图形的位似和相似三角形的性质进行构造
画法①：以BC为一边向三角形外作正方形BEPC
连接AE、AP交BC于点Q、M，
分别过Q、M作QP⊥BC交AB于点P
MN⊥BC交AC于点N，连接PN。
则四边形PQMN是△ABC的内接正方形，如图5。
简要说明 ∵NM//CP，
∴△AMN∽△APC
∴
同理可得
∴
因为CP=BE，所以NM=PQ
又因为NM//PQ且NM⊥BC
所以四边形PQMN是矩形
又因为，EP=CP，
所以QM=NM
即四边形PQMN是正方形。
画法② 在AB边上任取点D，过D作DE⊥BC 于点E，以DE为一边作正方形DEFG，如图6，连接BG并延长交AC于点N，过N分别作NM⊥BC于M，NP//BC交AB于点P，过P作PQ⊥BC于点Q，则四边形PQMN即为所作的△ABC的内接正方形。
简要说明： 由画图可知四边形PQMN是矩形，
根据相似三角形的性质有
因为GF=GD所以NM=NP
即四边形PQMN是△ABC的内接正方形。
方法（2）根据前面内接正方形边长计算的结论进行构造
引例 已知：如图7， AD和BC相交于点于E,
AC//BD//EF，EF交AB于F，又AC=p，BD=q，FE=r。
证明：
于是构造如图8所示图形，过点A作AF//BC，
满足AF=AD，连接CF交AB于点P，过点P作PN//BC交AC于点N，则AF//PN//BC，
由引例可知
即PN就是所求正方形的边长。
因此只要分别过P、N作PQ⊥BC于Q， NM⊥BC于M，则四边形PQMN就是△ABC的内接正方形。
2.直角三角形余料ABC中BC边上的最大正方形锐角三角形中的画正方形的方法同样适用于直角三角形，不过，对于特殊的直角三角形还有更简单的画法，作∠ACB的平分线CP交AB于点P，过P点作PQ⊥BC交BC于点Q， PN⊥AC交AC于点N。
则四边形PQMN是△ABC的内接正方形，如图9。
简要说明：由画图可知四边形PQMN是矩形， 由角平分线的性质可知PQ=PN，所以四边形PQMN是正方形。
3.钝角三角形余料ABC中BC边上的最大正方形将钝角三角形转化为直角三角形问题进行考虑，用直角三角形中的画正方形的方法即可。
过C点作CE⊥BC交AB于点E，作∠BCE的平分线CP交AB于点P，过P点作PQ⊥BC交BC于点Q， PN⊥CE交CE于点N。
则四边形PQMN是△BCE的内接正方形，也是钝角三角形余料ABC中BC边上的最大正方形如图10。
思考四 正方形PQMN落在三角形余料ABC不同的边上，所得到的正方形边长不尽相同，同一三角形余料中不同正方形的边长如何计算，大小又如何比较，根据三角形余料ABC的不同形状一一加以分析说明既然同一三角形余料ABC有不同的正方形PQMN，肯定要比较到底谁最大，为便于讨论，设△ABC的三边长分别为a、b、c，各边上的高分别为ha、hb、hc中，边落在BC、AC、AB边上的内接正方形的边长分别为xa、xb、xc，为不失一般性，设a≤b≤c，△ABC的面积为s，显然有aha=bhb=chc=2s
即可得ha≥hb≥hc。按以下三种形状分类进行讨论。
1.三角形余料ABC为锐角三角形时的不同正方形边长的计算与比较当三角形余料ABC为锐角三角形时，如图11，根据相似三角形的性质和等比性质有
同理可得
又因为
所以所以xa≥xb，同理xb≥xc，所以xa≥xb≥xc。
结论 对于锐角三角形余料，只要已知一边及这一边上的高线，即可求出这一边上的内接正方形的边长，当内接正方形的一边落在锐角三角形最短边上时，边长最大，即加工成的正方形最大。
2.三角形余料ABC为直角三角形时的不同正方形边长的计算与比较当三角形余料ABC为直角三角形时，如图12， a、b为两条直角边，则有ab=chc=2S，根据相似三角形的性质和等比性质有
同理可得
所以
因为
所以xa=xb， xa≥xc，所以xa=xb≥xc。
结论 对于直角三角形余料，只要已知两条直角边，即可求出任何一边上的内接正方形的边长，当内接正方形的一边落在直角边上时，边长最大，即加工成的正方形最大。
3.三角形余料ABC为钝角三角形时的不同正方形边长的计算与比较当三角形余料ABC为钝角三角形时，一边落在BC边上面积最大的是正方形PQMN，如图13所示，由前面直角三角形余料分析可知，只要求出线段CE 即可，因为CE//AD
所以
因为△BCF∽△ACD，所以S△BCF:S△ACD=a2:b2,因为a≤b，所以S△BCF≤S△ACD
所以
所以
即
而
如果hc保持不变，即最大边上的高保持不变，当90o<∠BCA<180o-∠ABC范围内不断变小时，发现2CDha的值也随着变小，当∠BCA=90o时，2CDha的值为0，可见三种情况都有可能，因而谁大谁小不能确定，即xa与xc无法比较，同样xb与xc也无法比较，只能得到xa≤xb。
可见，只有深入研究习题，方能发现问题，发现问题又能促进思考，思考中又不断产生新的问题，而这些新的问题，无不蕴含着思维的火花，丰富的内涵，值得仔细认真研究。
原题 有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上。问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
为方便起见,将参考答案摘录如下：设正方形PQMN
为加工成的正方形零件,边QM在BC上,顶点P、N分别
在AB、AC上。△ABC的高AD与边PN相交于点E，
设正方形的边长为xmm
∵PN∥BC,∴△APN∽△ABC∴
即
解得x=48
答：加工成的正方形零件的边长是48mm。
思考一 课本中给出的三角形余料ABC的图形不够标准，与题意产生矛盾，缺乏严谨性和科学性
我认为此题有一个小小的瑕疵，若不仔细观察，
动手测量、计算和必要的推理，还真不容易发现问
题所在，可能是教材编写者把注意力集中在知识点
相似三角形性质的巩固和运用上，忽视了对图形的
考虑，忽视了对数据的研究，没有将图形与数据有
机结合起来，所给的△ABC中的∠BAC=Rt∠,这是不可能的，
是错误的。理由简单如下：如图1，以BC为直径作⊙，如果∠BAC=Rt∠,
则点A必定在圆上，显然BC边上的高AD≤BC/2=60mm，这与题意高AD=80mm
相矛盾，因此点A必在圆外，所以∠BAC是一个锐角不可能是Rt∠。也许有人认为这是小题大做吹毛求疵，不必大惊小怪，对求解也不会产生多大的影响，不值得研究讨论。可这毕竟是教材，里边的习题，都是精挑细选，反复斟酌，最后敲定的，是众多专家智慧的结晶，应该力争完美，做到准确无误。
思考二、满足题意的三角形余料ABC的图形究竟应该怎样？是否都有内接正方形？
定义 四个顶点都在一个三角形的边上的正方形叫做三角形的内接正方形。
根据课本题目给出的条件，满足BC=120mm，BC边上高AD=80mm，可知点A的位置无法确定，由于A点的位置不同，得到的三角形余料ABC的形状也不同，因此需要分情况进行探讨：
1. 如图2，当垂足D落在线段BC内时，即△ABC是锐角三角形，在每一条边上均可画出一个正方形，故锐角三角形有三个内接正方形。
2. 如图3，当垂足D落在线段BC的两个端点时，即△ABC是直角三角形，由于两直角边上的正方形互相重合，故直角三角形有两个内接正方形。
3. 如图4，当垂足D落在线段BC延长线上时（或CB的延长线），即△ABC是钝角三角形，这时使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上的正方形并不存在，只有在最长边上可以画出一个内接正方形，故钝角三角形只有一个内接正方形
根据以上分析及教材编写者意图，结合参考答案，建议课本将题目和图形修改如下：
修改题 有一块锐角三角形余料ABC，如图，它的边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上。⑴加工成的正方形零件的边长是多少mm？
⑵如果BC=a，高AD=h，问加工成的正方形零件的边长又是多少mm？
修改意图：使题意明确，图形符合要求，更具针对性，
做到数据图形两结合。特别是追加的第（2）个问题，促使学生去探求内接正方形边长计算的一般方法，体现从特殊到一般的数学思想，更能使学生明确对于锐角三角形只要已知一边及这一边上的高，即可求出这一边上的内接正方形的边长的结论。
可设内接正方形边长为x，依据相似三角形的性质和等比性质，
有
所以 或
思考三 课本中给出的三角形余料ABC的内接正方形PQMN是怎样加工出来的？根据三角形余料ABC的不同形状，怎样使加工成的正方形零件最大。现以正方形的边QM落在BC边上为例，一一进行探讨。
1.锐角三角形余料ABC中BC边上的最大正方形
方法（1）利用图形的位似和相似三角形的性质进行构造
画法①：以BC为一边向三角形外作正方形BEPC
连接AE、AP交BC于点Q、M，
分别过Q、M作QP⊥BC交AB于点P
MN⊥BC交AC于点N，连接PN。
则四边形PQMN是△ABC的内接正方形，如图5。
简要说明 ∵NM//CP，
∴△AMN∽△APC
∴
同理可得
∴
因为CP=BE，所以NM=PQ
又因为NM//PQ且NM⊥BC
所以四边形PQMN是矩形
又因为，EP=CP，
所以QM=NM
即四边形PQMN是正方形。
画法② 在AB边上任取点D，过D作DE⊥BC 于点E，以DE为一边作正方形DEFG，如图6，连接BG并延长交AC于点N，过N分别作NM⊥BC于M，NP//BC交AB于点P，过P作PQ⊥BC于点Q，则四边形PQMN即为所作的△ABC的内接正方形。
简要说明： 由画图可知四边形PQMN是矩形，
根据相似三角形的性质有
因为GF=GD所以NM=NP
即四边形PQMN是△ABC的内接正方形。
方法（2）根据前面内接正方形边长计算的结论进行构造
引例 已知：如图7， AD和BC相交于点于E,
AC//BD//EF，EF交AB于F，又AC=p，BD=q，FE=r。
证明：
于是构造如图8所示图形，过点A作AF//BC，
满足AF=AD，连接CF交AB于点P，过点P作PN//BC交AC于点N，则AF//PN//BC，
由引例可知
即PN就是所求正方形的边长。
因此只要分别过P、N作PQ⊥BC于Q， NM⊥BC于M，则四边形PQMN就是△ABC的内接正方形。
2.直角三角形余料ABC中BC边上的最大正方形锐角三角形中的画正方形的方法同样适用于直角三角形，不过，对于特殊的直角三角形还有更简单的画法，作∠ACB的平分线CP交AB于点P，过P点作PQ⊥BC交BC于点Q， PN⊥AC交AC于点N。
则四边形PQMN是△ABC的内接正方形，如图9。
简要说明：由画图可知四边形PQMN是矩形， 由角平分线的性质可知PQ=PN，所以四边形PQMN是正方形。
3.钝角三角形余料ABC中BC边上的最大正方形将钝角三角形转化为直角三角形问题进行考虑，用直角三角形中的画正方形的方法即可。
过C点作CE⊥BC交AB于点E，作∠BCE的平分线CP交AB于点P，过P点作PQ⊥BC交BC于点Q， PN⊥CE交CE于点N。
则四边形PQMN是△BCE的内接正方形，也是钝角三角形余料ABC中BC边上的最大正方形如图10。
思考四 正方形PQMN落在三角形余料ABC不同的边上，所得到的正方形边长不尽相同，同一三角形余料中不同正方形的边长如何计算，大小又如何比较，根据三角形余料ABC的不同形状一一加以分析说明既然同一三角形余料ABC有不同的正方形PQMN，肯定要比较到底谁最大，为便于讨论，设△ABC的三边长分别为a、b、c，各边上的高分别为ha、hb、hc中，边落在BC、AC、AB边上的内接正方形的边长分别为xa、xb、xc，为不失一般性，设a≤b≤c，△ABC的面积为s，显然有aha=bhb=chc=2s
即可得ha≥hb≥hc。按以下三种形状分类进行讨论。
1.三角形余料ABC为锐角三角形时的不同正方形边长的计算与比较当三角形余料ABC为锐角三角形时，如图11，根据相似三角形的性质和等比性质有
同理可得
又因为
所以所以xa≥xb，同理xb≥xc，所以xa≥xb≥xc。
结论 对于锐角三角形余料，只要已知一边及这一边上的高线，即可求出这一边上的内接正方形的边长，当内接正方形的一边落在锐角三角形最短边上时，边长最大，即加工成的正方形最大。
2.三角形余料ABC为直角三角形时的不同正方形边长的计算与比较当三角形余料ABC为直角三角形时，如图12， a、b为两条直角边，则有ab=chc=2S，根据相似三角形的性质和等比性质有
同理可得
所以
因为
所以xa=xb， xa≥xc，所以xa=xb≥xc。
结论 对于直角三角形余料，只要已知两条直角边，即可求出任何一边上的内接正方形的边长，当内接正方形的一边落在直角边上时，边长最大，即加工成的正方形最大。
3.三角形余料ABC为钝角三角形时的不同正方形边长的计算与比较当三角形余料ABC为钝角三角形时，一边落在BC边上面积最大的是正方形PQMN，如图13所示，由前面直角三角形余料分析可知，只要求出线段CE 即可，因为CE//AD
所以
因为△BCF∽△ACD，所以S△BCF:S△ACD=a2:b2,因为a≤b，所以S△BCF≤S△ACD
所以
所以
即
而
如果hc保持不变，即最大边上的高保持不变，当90o<∠BCA<180o-∠ABC范围内不断变小时，发现2CDha的值也随着变小，当∠BCA=90o时，2CDha的值为0，可见三种情况都有可能，因而谁大谁小不能确定，即xa与xc无法比较，同样xb与xc也无法比较，只能得到xa≤xb。
可见，只有深入研究习题，方能发现问题，发现问题又能促进思考，思考中又不断产生新的问题，而这些新的问题，无不蕴含着思维的火花，丰富的内涵，值得仔细认真研究。