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数学课堂教学的展开往往是基于对某些数学问题的探讨和研究,有限的课堂教学时间不能使问题的解决面面俱到。因此,提出一个主问题,并围绕这个问题循序渐进地展开教学,则会起到较好的教学效果。
在一节关于“切线的判断与性质”教研课上,执教教师借助于一道课本习题,从切线的有关知识在同心圆中应用的角度,上了一节主问题互动导学研究课。在此之前学生已经学习了圆、点和圆的位置关系,直线和圆的位置关系,以及切线的判定和性质、切线长定理等有关知识,对解决问题有了一定的知识基础。
【教学过程】
1.问题的提出
请同学们思考课本第88页综合运用第8题。如左图,两个圆都以点O为圆心,求证:AC=BD。
师:哪个小组汇报自己的研究成果?
生1:我来汇报,连接OA,OC,OD,OB可证明:△AOC≌△BOD得AC=BD
师:你能具体说说怎样得到这两个三角形全等的?
生1:因为OA、OB是大圆的半径,所以OA=OB,∠A=∠B。OC,OD是小圆的半径所以OC=OD,∠OCB=∠ODB可得∠OCA=∠ODB,用角角边可以证明两个三角形全等,从而得出AC=BD(如图1)
师:很好!请哪位同学说说这个证明过程用了哪些知识?
生2:主要运用了同圆的半径相等,等边对等角,全等三角形等知识来证明的。
师:很好!请同学们进一步思考,这道题有没有其他的证明方法?
(大部分同学举手,踊跃发言。)
生3:过O点作OE⊥AB,垂足为E,则有AE=BE,CE=DE,得AE-CE=BE-DE,即AC=BD(如图2)
师:非常好!这种证法很简洁,请问同学们,这种证明方法又用了哪些知识?
生3:运用了我们刚刚学过的垂径定理,OE不仅是大圆的弦AB的弦心距,又是小圆的弦CD的弦心距。
(通过课本上同学们熟知的习题,引导学生分析,研究,反思证明的方法,激活了课堂的气氛,让所有学生的思维处于一活动状态,为下面的变题打下伏笔。)
师:研究得很好!现在,老师把大圆的弦AB向下平移,使AB与小圆相切。则此时C、D两点会出现什么情况?
生4:C、D两点会向下运动,重合成为弦AB与小圆的切点。
师:大家说对吗?
生(众):对!
师:若此时的切点为P,这就是我们课本上第101页的第4题。请同学们研究讨论。此时AP=BP吗?(如图3)
生5:连接OP,因为AB是小圆的切线,P为切点,OP为小圆的半径。所以OP⊥AB,又AB为大圆的弦,所以AP=BP。(如图4).
师:你们是怎样进行研究的?
生5(继续):我们先观察弦AB与小圆的位置关系,P为切点,连接过切点的半径,根据切线的性质定理,得OP⊥AB,再观察大圆,在大圆中,OP则是AB的弦心距,根据垂径定理得出AP=BP.
师:很好!他们不仅解出了这道题,而且说出了解题方法。这类题要求同学们整体把握:先看小圆,再看大圆,运用切线的有关知识和垂径定理解决问题,同学们的研究成果很棒!
(通过把课本第88页的习题进行适当的变化,演变成课本第101页的习题,体现了课本知识的连续性,也反映出教师对课本习题的整合能力,引导学生进行知识的迁移,使学生既熟知了过去的知识,又复习了现学的知识。
2.问题的引申,提出主问题
变式1:将图3中的切线增加到两条。如图:在以O为圆心的两个圆中,大圆的弦AB、CD分别切小圆于点E、F,问此时AB与CD有何数量关系?为什么?
(学生分小组交流、讨论,由一个人主发言,其余同学进行补充更正,学生参与的积极性高,互相交流各自的想法,形成本小组的结论。)
师:有方法,有结果的小组同学请举手。
生6:AB与CD相等。连接OE、OF、OA、OC(如图5),因为AB、CD切小圆于E、F,所以OE⊥AB、OF⊥CD、又OA=OC,OE=OF,所以RT△AEO≌RT△CFO,所以AE=CF,在大圆中,OE⊥AB,OF⊥CD,所以AE=1/2AB,CF=1/2CD,所以AB=CD。
师:很好!你们小组这样做有根据吗?
生6:继续,有根据。通过观察小圆,AB,CD是小圆的切线,且切点为E、F, 连接OE、OF后,OE、OF是小圆的半径,根据切线的性质定理,得到了OE⊥AB,OF⊥CD,再观察大圆,发现OE、OF分别是大圆的弦AB、CD的弦心距,根据垂径定理得AE=1/2AB,OF=1/2CD,连接OA、OC后,发现OA、OC是大圆的半径相等,而OE、OF则是小圆的半径相等,根据HL定理,证明了两个直角三角形全等,从而证明到AB与CD具有相等关系。
师:分析得很有道理。这些方法正是我们在研究图3的过程中所总结出来的,同学们通过自己的讨论,解决了这个问题,说明同学们对知识的领悟很快。
(教师在变题以后,让学生有充裕的时间进行探究、分析,依据已有的经验和知识来解决问题,鼓励学生大胆发言,说出自己的想法并与学生进行互动。突出了解决问题的重要方法,突破了解题的难点,不断地将主问题的引入推向高潮。)
变式2:在上述问题中,若将A、C两点重合为一点,那么有如下题目:在同心圆O中,大圆的弦AB、AD切小圆于点E、F,还依然有AB等于AD吗?
师:首先请同学们自己画出适合题意的图形。
(教师巡视指出个别学生的画图问题,并在黑板上画出相应的图形,注意授课的细节,关注了全体同学的发展;画图之后,同学们开始交流、讨论)
生7:依然有AB=CD。证明的方法与变式1相同。(如图6)连接OA、OE、OF,因为AB、CD是小圆O的切线,E、F为切点,所以OE⊥AB,OF⊥AD,且OE=OF,所以RT△AEO≌RT△AFO,所以AE,AF,又OE⊥AB,OF⊥AD,所以AE=1/2AB,AF=1/2AD,所以AB=AD.
师:你分析得很好,依据了上一题的经验,请问你们还有什么不同的方法?
生8(举手):在小圆中,AB、AD是小圆的切线,根据上一节课学习的切线长定理,会有AE=AF。连接OE、OF,则有OE⊥AB,OF⊥AD,所以有AE=AB,AF=AD,所以AB=AD。
师:大家说他分析得对吗?用了哪些知识来解决这个问题?
生(众):分析得对。
生9:运用了切线长定理和垂径定理等知识来解决问题。
师:好的。还想继续研究嘛?
(能够让学生运用不同的知识和方法来解决同一个问题,体现了一题多解,培养了学生的发散思维和多角度观察问题、解决问题的能力。在知识引领上,由切线的性质,垂径定理,逐步引导得到切线长定理,使这些知识贯穿成一条线。
生(众):想!
变式3:将上一个问题中的两条切线变为一条,增加一个条件:如图5:大圆的弦AB切小圆于C,且AB=AD,那么AD是小圆的切线吗?为什么?
(学生再次以小组为单位,合作讨论,交流,教师巡视,与个别小组,个别学生进行交流,引导他们思考。)
师:通过讨论、交流、有结论的小组代表发言。
生10:(如图7)过O点作OE⊥AB,E为垂足,连接OC,OA。所以AE=DE=AD.因为AB是小圆O的切线。C为切点。所以OC⊥AB,AC=BC=AB,所以AC=AE,则有RT△ACO≌RT△AEO,所以∠ACO=∠AEO=900,从而OE⊥AD,又OE是小圆的半径,所以AD是小圆的切线。
师:很好!反思此题,在证明的过程中应用了哪些知识和解题技巧?
生11:在证明过程中应用了切线的性质定理,垂径定理和全等三角形的知识,运用的证题技巧是:要证一条直线与已知的圆相切,又不知道公共点的位置,那么应过圆心作直线的垂线,得垂线段,再证明这条垂线段的长等于半径即可。
师:小结,反思得非常好。这就是我们平常所说的“作垂直,证半径”。
(教师在学生反思的基础上适时的加以归纳总结,用最精炼的语言“作垂直,证半径”总结出证此类题的技巧,能使学生在今后的练习中举一反三,找到类似问题的突破口,为课堂主问题的解决增加了方法。)
【教学思考】
在数学课堂教学中,不对所有的问题进行面面具到的分析、研究,而对某个主问题进行探讨。这一堂课进行了有益的尝试。在主问题互动导学研究的过程中,教者有机地运用了解题后的反思和追问。这是目前教学中不可多得的手段,通过对解题思路的再回顾,能够使学生对解决问题的切入点,手段和方法,选择最佳的解题方案提供了很好的参照,形成了良好的解题能力。切实提高了教学的有效性。适时的追问既点拨了学生的思路,又激发了学生的思维,使课堂变得灵动起来。
在一节关于“切线的判断与性质”教研课上,执教教师借助于一道课本习题,从切线的有关知识在同心圆中应用的角度,上了一节主问题互动导学研究课。在此之前学生已经学习了圆、点和圆的位置关系,直线和圆的位置关系,以及切线的判定和性质、切线长定理等有关知识,对解决问题有了一定的知识基础。
【教学过程】
1.问题的提出
请同学们思考课本第88页综合运用第8题。如左图,两个圆都以点O为圆心,求证:AC=BD。
师:哪个小组汇报自己的研究成果?
生1:我来汇报,连接OA,OC,OD,OB可证明:△AOC≌△BOD得AC=BD
师:你能具体说说怎样得到这两个三角形全等的?
生1:因为OA、OB是大圆的半径,所以OA=OB,∠A=∠B。OC,OD是小圆的半径所以OC=OD,∠OCB=∠ODB可得∠OCA=∠ODB,用角角边可以证明两个三角形全等,从而得出AC=BD(如图1)
师:很好!请哪位同学说说这个证明过程用了哪些知识?
生2:主要运用了同圆的半径相等,等边对等角,全等三角形等知识来证明的。
师:很好!请同学们进一步思考,这道题有没有其他的证明方法?
(大部分同学举手,踊跃发言。)
生3:过O点作OE⊥AB,垂足为E,则有AE=BE,CE=DE,得AE-CE=BE-DE,即AC=BD(如图2)
师:非常好!这种证法很简洁,请问同学们,这种证明方法又用了哪些知识?
生3:运用了我们刚刚学过的垂径定理,OE不仅是大圆的弦AB的弦心距,又是小圆的弦CD的弦心距。
(通过课本上同学们熟知的习题,引导学生分析,研究,反思证明的方法,激活了课堂的气氛,让所有学生的思维处于一活动状态,为下面的变题打下伏笔。)
师:研究得很好!现在,老师把大圆的弦AB向下平移,使AB与小圆相切。则此时C、D两点会出现什么情况?
生4:C、D两点会向下运动,重合成为弦AB与小圆的切点。
师:大家说对吗?
生(众):对!
师:若此时的切点为P,这就是我们课本上第101页的第4题。请同学们研究讨论。此时AP=BP吗?(如图3)
生5:连接OP,因为AB是小圆的切线,P为切点,OP为小圆的半径。所以OP⊥AB,又AB为大圆的弦,所以AP=BP。(如图4).
师:你们是怎样进行研究的?
生5(继续):我们先观察弦AB与小圆的位置关系,P为切点,连接过切点的半径,根据切线的性质定理,得OP⊥AB,再观察大圆,在大圆中,OP则是AB的弦心距,根据垂径定理得出AP=BP.
师:很好!他们不仅解出了这道题,而且说出了解题方法。这类题要求同学们整体把握:先看小圆,再看大圆,运用切线的有关知识和垂径定理解决问题,同学们的研究成果很棒!
(通过把课本第88页的习题进行适当的变化,演变成课本第101页的习题,体现了课本知识的连续性,也反映出教师对课本习题的整合能力,引导学生进行知识的迁移,使学生既熟知了过去的知识,又复习了现学的知识。
2.问题的引申,提出主问题
变式1:将图3中的切线增加到两条。如图:在以O为圆心的两个圆中,大圆的弦AB、CD分别切小圆于点E、F,问此时AB与CD有何数量关系?为什么?
(学生分小组交流、讨论,由一个人主发言,其余同学进行补充更正,学生参与的积极性高,互相交流各自的想法,形成本小组的结论。)
师:有方法,有结果的小组同学请举手。
生6:AB与CD相等。连接OE、OF、OA、OC(如图5),因为AB、CD切小圆于E、F,所以OE⊥AB、OF⊥CD、又OA=OC,OE=OF,所以RT△AEO≌RT△CFO,所以AE=CF,在大圆中,OE⊥AB,OF⊥CD,所以AE=1/2AB,CF=1/2CD,所以AB=CD。
师:很好!你们小组这样做有根据吗?
生6:继续,有根据。通过观察小圆,AB,CD是小圆的切线,且切点为E、F, 连接OE、OF后,OE、OF是小圆的半径,根据切线的性质定理,得到了OE⊥AB,OF⊥CD,再观察大圆,发现OE、OF分别是大圆的弦AB、CD的弦心距,根据垂径定理得AE=1/2AB,OF=1/2CD,连接OA、OC后,发现OA、OC是大圆的半径相等,而OE、OF则是小圆的半径相等,根据HL定理,证明了两个直角三角形全等,从而证明到AB与CD具有相等关系。
师:分析得很有道理。这些方法正是我们在研究图3的过程中所总结出来的,同学们通过自己的讨论,解决了这个问题,说明同学们对知识的领悟很快。
(教师在变题以后,让学生有充裕的时间进行探究、分析,依据已有的经验和知识来解决问题,鼓励学生大胆发言,说出自己的想法并与学生进行互动。突出了解决问题的重要方法,突破了解题的难点,不断地将主问题的引入推向高潮。)
变式2:在上述问题中,若将A、C两点重合为一点,那么有如下题目:在同心圆O中,大圆的弦AB、AD切小圆于点E、F,还依然有AB等于AD吗?
师:首先请同学们自己画出适合题意的图形。
(教师巡视指出个别学生的画图问题,并在黑板上画出相应的图形,注意授课的细节,关注了全体同学的发展;画图之后,同学们开始交流、讨论)
生7:依然有AB=CD。证明的方法与变式1相同。(如图6)连接OA、OE、OF,因为AB、CD是小圆O的切线,E、F为切点,所以OE⊥AB,OF⊥AD,且OE=OF,所以RT△AEO≌RT△AFO,所以AE,AF,又OE⊥AB,OF⊥AD,所以AE=1/2AB,AF=1/2AD,所以AB=AD.
师:你分析得很好,依据了上一题的经验,请问你们还有什么不同的方法?
生8(举手):在小圆中,AB、AD是小圆的切线,根据上一节课学习的切线长定理,会有AE=AF。连接OE、OF,则有OE⊥AB,OF⊥AD,所以有AE=AB,AF=AD,所以AB=AD。
师:大家说他分析得对吗?用了哪些知识来解决这个问题?
生(众):分析得对。
生9:运用了切线长定理和垂径定理等知识来解决问题。
师:好的。还想继续研究嘛?
(能够让学生运用不同的知识和方法来解决同一个问题,体现了一题多解,培养了学生的发散思维和多角度观察问题、解决问题的能力。在知识引领上,由切线的性质,垂径定理,逐步引导得到切线长定理,使这些知识贯穿成一条线。
生(众):想!
变式3:将上一个问题中的两条切线变为一条,增加一个条件:如图5:大圆的弦AB切小圆于C,且AB=AD,那么AD是小圆的切线吗?为什么?
(学生再次以小组为单位,合作讨论,交流,教师巡视,与个别小组,个别学生进行交流,引导他们思考。)
师:通过讨论、交流、有结论的小组代表发言。
生10:(如图7)过O点作OE⊥AB,E为垂足,连接OC,OA。所以AE=DE=AD.因为AB是小圆O的切线。C为切点。所以OC⊥AB,AC=BC=AB,所以AC=AE,则有RT△ACO≌RT△AEO,所以∠ACO=∠AEO=900,从而OE⊥AD,又OE是小圆的半径,所以AD是小圆的切线。
师:很好!反思此题,在证明的过程中应用了哪些知识和解题技巧?
生11:在证明过程中应用了切线的性质定理,垂径定理和全等三角形的知识,运用的证题技巧是:要证一条直线与已知的圆相切,又不知道公共点的位置,那么应过圆心作直线的垂线,得垂线段,再证明这条垂线段的长等于半径即可。
师:小结,反思得非常好。这就是我们平常所说的“作垂直,证半径”。
(教师在学生反思的基础上适时的加以归纳总结,用最精炼的语言“作垂直,证半径”总结出证此类题的技巧,能使学生在今后的练习中举一反三,找到类似问题的突破口,为课堂主问题的解决增加了方法。)
【教学思考】
在数学课堂教学中,不对所有的问题进行面面具到的分析、研究,而对某个主问题进行探讨。这一堂课进行了有益的尝试。在主问题互动导学研究的过程中,教者有机地运用了解题后的反思和追问。这是目前教学中不可多得的手段,通过对解题思路的再回顾,能够使学生对解决问题的切入点,手段和方法,选择最佳的解题方案提供了很好的参照,形成了良好的解题能力。切实提高了教学的有效性。适时的追问既点拨了学生的思路,又激发了学生的思维,使课堂变得灵动起来。