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在以往的教学经历中，总有一些教学内容让我念念不忘——虽教学多次，但一直没能找寻到一条满意的教学路径.“三角形的面积”就是这样一节令我纠结的内容.
片段一：口答直角三角形面积，初步积累活动经验
师：这里有一个直角三角形（出示底是2厘米，高是1厘米的直角三角形 ■ ），它的面积又是多少呢？把你的想法和同桌说一下.
生：1平方厘米.
师：你是怎样想的？
生：把上面的部分移到下面，变成一格. （课件演示）
师：不错的想法，还有和他不一样的想法吗？
生：再补上一个直角三角形拼成长方形，长方形的面积是2平方厘米，所以三角形的面积是1平方厘米.
师：思路很清晰. 看来，通过“移”和“补”都能算出这个直角三角形的面积. （出示：底是6厘米，高是4厘米的直角三角形）老师这里还有一个大一点的直角三角形，它的面积你知道吗？
生：12平方厘米.
师：你怎么这么快就算出来的？
生：我给它补上一个三角形，变成一个长方形，长方形的面积是24平方厘米，所以那个三角形的面积是12平方厘米. （课件演示）
师：和他想法一样的举举手. 还有不同的想法吗？
生：也可以移动变成一个长方形.
师：面对两种方法，大家自然会在心中琢磨，哪种方法更方便呢？
生：补上一个同样的三角形.
师：其实那么多同学选择“补”的方法说明大家已经意识到这一点. 接着请大家来看一个更大的直角三角形. （出示：底是12厘米，高是10厘米的直角三角形）它的面积是多少？谁愿意说说你的想法？
生：面积是60平方厘米，我也是先补上一个三角形算出长方形的面积是120平方厘米，再除以2.
师：你的表达简洁明了. 回顾一下我们刚才的学习，想要算出一个直角三角形的面积，我们可以怎么办？
生：补上一个直角三角形，变成一个长方形. （实物演示）
师：既然两个完全相同的直角三角形能拼成一个长方形，那么如果给我们两个完全相同的锐角三角形、钝角三角形是不是也可以拼成一个长方形呢？
生：不能！
师：这只是大家的直觉，我们手上正好有这样的材料，不妨试试看.
学生活动，汇报交流.
研究新的数学问题，需要有明确的方向和清晰的思路，否则，所谓的探究也只是毫无目的的盲动. 这一片段的教学，我在方格图中依次呈现大小不同的直角三角形，学生凭借方格图通过“移”或“补”，轻松求出三个三角形的面积，在不经意间已经生成了“拼一个同样的三角形”求三角形面积这一方法，初步积累了基本的数学活动经验，最后由直角三角形推广到任意三角形，自然切入新课，在此基础上，学生自主探索三角形面积计算方法便水到渠成.
片段二：自主探索，逐步顿悟三角形面积的计算方法
师：让我们一起拿出1号三角形纸片，谁来说说，这是一个怎样的三角形纸片？
生：底是6厘米，高是3厘米的三角形.
师：它的面积是多少呢？同学之间交流一下你的方法.
生：可以用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，再算出一个三角形的面积.
师：可我们每人只有一个三角形啊，怎么办？
生：同桌两人合作.
师：那就请和同桌一起拼一下.
（学生活动）
师：看着你桌面上拼成的平行四边形，你会算每个三角形的面积吗？
生：9平方厘米.
师：怎么算的？
生：先算平行四边形的面积是18平方厘米，三角形面积是9平方厘米. （课件出示）
师：借助已有的经验，我们轻松算出了1号三角形纸片的面积. 我们桌面上还有一张长方形纸片，在这张纸片上有一个2号三角形，你还能像刚才的1号三角形纸片那样拼吗？
生：不好拼！
师：这下我们可以怎么办呢？同桌可以交流一下
生：可以在三角形边上画出一个一样的三角形.
师：大家一起试一试.
（学生画，展示）
师：现在，看着画成的平行四边形，你能算出2号三角形的面积吗？
生：平行四边形面积是20平方厘米，那么三角形的面积是10平方厘米.
师：我们用拼的方法算出了1号三角形的面积，用画的方法算出了2号三角形的面积. 那如果我们面对的是这样一个三角形又该怎么办呢？（大屏幕出示一个三角形）先想一想，在作业本上写出来.
师：你算的面积是多少？
生：2平方厘米
师：你是怎样想的？
生：我可以想成一个平行四边形，发现三角形的底等于平行四边形的底，三角形的高等于平行四边形的高，因为平行四边形的面积等于底乘高，所以一个三角形的面积等于底乘高，再除以2.
师：想成了一个平行四边形，你能指一指吗？
（指名学生指）
师：大家闭上眼睛，想象一下这个平行四边形.
（课件出示）
师：再闭上眼睛，想象一下这个平行四边形.
师：现在谁来说说，三角形的面积可以怎样计算？
生：底 × 高 ÷ 2. （板书）
师：这里底乘高求出的是什么？
生：两个完全一样的三角形拼成的平行四边形的面积.
从“三角形纸片”到“作业纸上的三角形”再到“屏幕上的三角形”，三种不同情境中的三角形恰到好处地引发学生一次次自觉修正自己的方法，最终顿悟出根本“不用拼”，可以直接想出一个平行四边形进行计算. 从中我们不难感受到孩子们的灵性和智慧，这是学生自主探究的结果，更是一个自悟自得的过程. 一、操作：为学生积累大量的表象
布鲁纳认为，动作——表象——符号是儿童认知发展的程序，也是学生学习过程的认知序列. 由动作而积累表象是小学生进行数学学习的重要一环. 如何不断积累图形表象，特别是积累大量图形变式的表象，一种非常重要的途径就是经历与图形有关的各种操作活动.
回首有限的教学时空，采用的仍是司空见惯的教学形式——拼、算，但其根本立场和视角已然发生改变：从学生看方格图中的直角三角形说面积到算任意三角形的面积，其间，没有引人入胜的情境、光彩夺目的课件、丝丝入扣的推理，只是朴素地组织学生在操作中逐步摸索未知图形的面积计算方法. 细细琢磨学生的三次操作，那是层次不同的三次“拼、算”，从我提供的材料上便可见端倪，学生每“拼”一次并成功算出三角形纸片的面积都促其思维不断拔节. 在此，学生的收获不只是有形的公式，更多的是积累了无形的探索平面图形面积的鲜活经验.
有关脑科学的研究表明，在学习活动中如果大脑左右两个半球都能被激活，学习效果将大为增强. 在数学学习过程中融入动手操作，有助于同时激活大脑的左右半球，从而使学生对在操作过程中获得的认知体验更为深刻. 上述教学过程不仅通过操作活动让抽象的结论在具体感知中自然得出，而且引导学生经历了比较、分析、抽象、概括等一系列思维活动，拓展了学生参与学习的广度和深度，学生由此获得的体验无疑是深刻的.
二、顿悟：让学生享受学习的美妙
本课教学中，在学生自主探索，深入探究时，我一次次的追问不经意间创设了一种情境，给了学生自悟的空间，使一部分学生在和同伴的竞争与合作中顿悟出三角形面积计算的方法，进而带动大部分学生. 这样学生得来的知识不会突兀，因为从提出问题到解决问题，其间有个渐悟的心路历程，而这段路是学生自己走过来的，解决问题的方法也是他们自己摸索出来的，远比教师空洞地说教来得扎实，学生在学习中培养起来的这种自悟素质也会令其享用一生. 其实备课初我曾保守地设想，倘若学生此时仍不能顿悟出一般方法，那么我将给予更多的三角形纸片，继续组织学生比赛算面积. 我坚信，当学生经历足够多的操作后，顿悟一定会自然形成，好在实践已不争地支持了我的预设.
完全有理由相信，学生有了这样成功的体验，享受到学习的美妙后，他们会期待下一次成功，从而积极地投身到后续的学习中去，而当我们拥有了学生思维真正参与的课堂，这样的学习又是何等深刻！
片段一：口答直角三角形面积，初步积累活动经验
师：这里有一个直角三角形（出示底是2厘米，高是1厘米的直角三角形 ■ ），它的面积又是多少呢？把你的想法和同桌说一下.
生：1平方厘米.
师：你是怎样想的？
生：把上面的部分移到下面，变成一格. （课件演示）
师：不错的想法，还有和他不一样的想法吗？
生：再补上一个直角三角形拼成长方形，长方形的面积是2平方厘米，所以三角形的面积是1平方厘米.
师：思路很清晰. 看来，通过“移”和“补”都能算出这个直角三角形的面积. （出示：底是6厘米，高是4厘米的直角三角形）老师这里还有一个大一点的直角三角形，它的面积你知道吗？
生：12平方厘米.
师：你怎么这么快就算出来的？
生：我给它补上一个三角形，变成一个长方形，长方形的面积是24平方厘米，所以那个三角形的面积是12平方厘米. （课件演示）
师：和他想法一样的举举手. 还有不同的想法吗？
生：也可以移动变成一个长方形.
师：面对两种方法，大家自然会在心中琢磨，哪种方法更方便呢？
生：补上一个同样的三角形.
师：其实那么多同学选择“补”的方法说明大家已经意识到这一点. 接着请大家来看一个更大的直角三角形. （出示：底是12厘米，高是10厘米的直角三角形）它的面积是多少？谁愿意说说你的想法？
生：面积是60平方厘米，我也是先补上一个三角形算出长方形的面积是120平方厘米，再除以2.
师：你的表达简洁明了. 回顾一下我们刚才的学习，想要算出一个直角三角形的面积，我们可以怎么办？
生：补上一个直角三角形，变成一个长方形. （实物演示）
师：既然两个完全相同的直角三角形能拼成一个长方形，那么如果给我们两个完全相同的锐角三角形、钝角三角形是不是也可以拼成一个长方形呢？
生：不能！
师：这只是大家的直觉，我们手上正好有这样的材料，不妨试试看.
学生活动，汇报交流.
研究新的数学问题，需要有明确的方向和清晰的思路，否则，所谓的探究也只是毫无目的的盲动. 这一片段的教学，我在方格图中依次呈现大小不同的直角三角形，学生凭借方格图通过“移”或“补”，轻松求出三个三角形的面积，在不经意间已经生成了“拼一个同样的三角形”求三角形面积这一方法，初步积累了基本的数学活动经验，最后由直角三角形推广到任意三角形，自然切入新课，在此基础上，学生自主探索三角形面积计算方法便水到渠成.
片段二：自主探索，逐步顿悟三角形面积的计算方法
师：让我们一起拿出1号三角形纸片，谁来说说，这是一个怎样的三角形纸片？
生：底是6厘米，高是3厘米的三角形.
师：它的面积是多少呢？同学之间交流一下你的方法.
生：可以用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，再算出一个三角形的面积.
师：可我们每人只有一个三角形啊，怎么办？
生：同桌两人合作.
师：那就请和同桌一起拼一下.
（学生活动）
师：看着你桌面上拼成的平行四边形，你会算每个三角形的面积吗？
生：9平方厘米.
师：怎么算的？
生：先算平行四边形的面积是18平方厘米，三角形面积是9平方厘米. （课件出示）
师：借助已有的经验，我们轻松算出了1号三角形纸片的面积. 我们桌面上还有一张长方形纸片，在这张纸片上有一个2号三角形，你还能像刚才的1号三角形纸片那样拼吗？
生：不好拼！
师：这下我们可以怎么办呢？同桌可以交流一下
生：可以在三角形边上画出一个一样的三角形.
师：大家一起试一试.
（学生画，展示）
师：现在，看着画成的平行四边形，你能算出2号三角形的面积吗？
生：平行四边形面积是20平方厘米，那么三角形的面积是10平方厘米.
师：我们用拼的方法算出了1号三角形的面积，用画的方法算出了2号三角形的面积. 那如果我们面对的是这样一个三角形又该怎么办呢？（大屏幕出示一个三角形）先想一想，在作业本上写出来.
师：你算的面积是多少？
生：2平方厘米
师：你是怎样想的？
生：我可以想成一个平行四边形，发现三角形的底等于平行四边形的底，三角形的高等于平行四边形的高，因为平行四边形的面积等于底乘高，所以一个三角形的面积等于底乘高，再除以2.
师：想成了一个平行四边形，你能指一指吗？
（指名学生指）
师：大家闭上眼睛，想象一下这个平行四边形.
（课件出示）
师：再闭上眼睛，想象一下这个平行四边形.
师：现在谁来说说，三角形的面积可以怎样计算？
生：底 × 高 ÷ 2. （板书）
师：这里底乘高求出的是什么？
生：两个完全一样的三角形拼成的平行四边形的面积.
从“三角形纸片”到“作业纸上的三角形”再到“屏幕上的三角形”，三种不同情境中的三角形恰到好处地引发学生一次次自觉修正自己的方法，最终顿悟出根本“不用拼”，可以直接想出一个平行四边形进行计算. 从中我们不难感受到孩子们的灵性和智慧，这是学生自主探究的结果，更是一个自悟自得的过程. 一、操作：为学生积累大量的表象
布鲁纳认为，动作——表象——符号是儿童认知发展的程序，也是学生学习过程的认知序列. 由动作而积累表象是小学生进行数学学习的重要一环. 如何不断积累图形表象，特别是积累大量图形变式的表象，一种非常重要的途径就是经历与图形有关的各种操作活动.
回首有限的教学时空，采用的仍是司空见惯的教学形式——拼、算，但其根本立场和视角已然发生改变：从学生看方格图中的直角三角形说面积到算任意三角形的面积，其间，没有引人入胜的情境、光彩夺目的课件、丝丝入扣的推理，只是朴素地组织学生在操作中逐步摸索未知图形的面积计算方法. 细细琢磨学生的三次操作，那是层次不同的三次“拼、算”，从我提供的材料上便可见端倪，学生每“拼”一次并成功算出三角形纸片的面积都促其思维不断拔节. 在此，学生的收获不只是有形的公式，更多的是积累了无形的探索平面图形面积的鲜活经验.
有关脑科学的研究表明，在学习活动中如果大脑左右两个半球都能被激活，学习效果将大为增强. 在数学学习过程中融入动手操作，有助于同时激活大脑的左右半球，从而使学生对在操作过程中获得的认知体验更为深刻. 上述教学过程不仅通过操作活动让抽象的结论在具体感知中自然得出，而且引导学生经历了比较、分析、抽象、概括等一系列思维活动，拓展了学生参与学习的广度和深度，学生由此获得的体验无疑是深刻的.
二、顿悟：让学生享受学习的美妙
本课教学中，在学生自主探索，深入探究时，我一次次的追问不经意间创设了一种情境，给了学生自悟的空间，使一部分学生在和同伴的竞争与合作中顿悟出三角形面积计算的方法，进而带动大部分学生. 这样学生得来的知识不会突兀，因为从提出问题到解决问题，其间有个渐悟的心路历程，而这段路是学生自己走过来的，解决问题的方法也是他们自己摸索出来的，远比教师空洞地说教来得扎实，学生在学习中培养起来的这种自悟素质也会令其享用一生. 其实备课初我曾保守地设想，倘若学生此时仍不能顿悟出一般方法，那么我将给予更多的三角形纸片，继续组织学生比赛算面积. 我坚信，当学生经历足够多的操作后，顿悟一定会自然形成，好在实践已不争地支持了我的预设.
完全有理由相信，学生有了这样成功的体验，享受到学习的美妙后，他们会期待下一次成功，从而积极地投身到后续的学习中去，而当我们拥有了学生思维真正参与的课堂，这样的学习又是何等深刻！