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尽管函数f（x）=是两个基本初等函数相除的结果，但是一些涉及数列、不等式、方程的问题，巧妙借助于函数f（x）=，可使问题化难为易，化繁为简. 我们还可以在高考题中找到函数f（x）=的身影.
例如2005年高考全国卷III第6题：若a=，b=，c=，则（ ）.
A. a C. c
又如2013年北京高考理科数学卷第18题：设l为曲线C：y=在点（1，0）处的切线，
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方.
先用导数研究函数f（x）=的性质， 求导得f′（x）=
′=，令f′（x）=0，x=e，当x∈（0，e）时，f′（x）>0；当x∈（e， ∞）时，f′（x）<0，因此f（x）=在（0，e）严格递增，在（e， ∞）严格递减，最大值为f（e）=；又f（1）=0，根据罗比塔法则[lim=][x→ ∞][lim=][x→ ∞][lim=0][x→ ∞]，函数f（x）=的图象如图1 .
下面通过具体例子介绍函数f（x）=在数学解题中的应用.
一、求数列{}的最大项
考察函数f（x）=[x][]=[e][]，x≥1，求导得f′（x）=[e][]
′=[x][][-2]（1-lnx），令f′（x）=0，x=e；当x∈[1，e）时，f′（x）>0；当x∈（e， ∞）时，f′（x）<0，因此f（x）=[x][]在[1，e）严格递增，在（e， ∞）严格递减，点x=e为函数的极大值点，极大值为f（e）=[e][]，又函数只有唯一的极大值点，极大值也是最大值，根据2 二、比较ab与ba（a>0，b>0）的大小
因为ab=[eln][ab]=[e][blna]=[e][ab][]，ba=[eln][ba]=[e][alnb]=[e][ab][]，所以比较ab与ba的大小最终归结为比较与的大小，不妨设a>b，
（1） a>b≥e，<，ab （2） e≥a>b，>，ab>ba；
（3） a>e>b，当0，ab>ba；
当b>1时，与大小无法比较，因此abba都有可能. 例如52<25，42=24，32>23.
三、指数函数y=ax与幂函数y=xμ（a>0，a≠1，x>0）的交点个数
问题等价于讨论方程ax=xμ（a>0，a≠1，x>0）有几个不同的正实根.
方程两边取对数得lnax=lnxμ ，即xlna=μlnx，
整理得==[lna][]，
当[lna][]>即[a][]>[e][]时，方程无解；
当[lna][]=即[a][]=[e][]时，方程有一个解；
当>[lna][]>0，即[e][]>[a][]>1时，方程有两个不同的解；
当0>[lna][]即1>[a][]>0时，方程有一个解.
特殊情形当μ=1时，方程ax=x（a>0，a≠1，x>0）的根的结论是：
当a>[e][]时，方程无解，即曲线y=ax与直线y=x无交点；
当a=[e][]时，方程有一个解，即曲线y=ax与直线y=x有一个交点，此时曲线与直线相切；
当[e][]>a>1时，方程有两个不同的解，即曲线y=ax与直线y=x有两个交点；
当1>a>0时，方程有一个解，即曲线y=ax与直线y=x有一个交点.
仅仅凭借幂函数和指数函数的图象，很难正确从图形直观上判断出它们的交点数，直觉有时会欺骗人的眼睛.
四、感悟
纵观上述三个应用，虽然表面上风马牛不相及，但是通过构造辅助函数，最终归结为讨论函数f（x）=的性质. 尤其在高三复习中，教师要引领学生探究知识产生的源头和背景，利用函数思想解决问题，举一反三，触类旁通，跳出题海，提高解题能力和学习效率.
例如2005年高考全国卷III第6题：若a=，b=，c=，则（ ）.
A. a
又如2013年北京高考理科数学卷第18题：设l为曲线C：y=在点（1，0）处的切线，
（Ⅰ）求l的方程；
（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方.
先用导数研究函数f（x）=的性质， 求导得f′（x）=
′=，令f′（x）=0，x=e，当x∈（0，e）时，f′（x）>0；当x∈（e， ∞）时，f′（x）<0，因此f（x）=在（0，e）严格递增，在（e， ∞）严格递减，最大值为f（e）=；又f（1）=0，根据罗比塔法则[lim=][x→ ∞][lim=][x→ ∞][lim=0][x→ ∞]，函数f（x）=的图象如图1 .
下面通过具体例子介绍函数f（x）=在数学解题中的应用.
一、求数列{}的最大项
考察函数f（x）=[x][]=[e][]，x≥1，求导得f′（x）=[e][]
′=[x][][-2]（1-lnx），令f′（x）=0，x=e；当x∈[1，e）时，f′（x）>0；当x∈（e， ∞）时，f′（x）<0，因此f（x）=[x][]在[1，e）严格递增，在（e， ∞）严格递减，点x=e为函数的极大值点，极大值为f（e）=[e][]，又函数只有唯一的极大值点，极大值也是最大值，根据2
因为ab=[eln][ab]=[e][blna]=[e][ab][]，ba=[eln][ba]=[e][alnb]=[e][ab][]，所以比较ab与ba的大小最终归结为比较与的大小，不妨设a>b，
（1） a>b≥e，<，ab
（3） a>e>b，当0
当b>1时，与大小无法比较，因此ab
三、指数函数y=ax与幂函数y=xμ（a>0，a≠1，x>0）的交点个数
问题等价于讨论方程ax=xμ（a>0，a≠1，x>0）有几个不同的正实根.
方程两边取对数得lnax=lnxμ ，即xlna=μlnx，
整理得==[lna][]，
当[lna][]>即[a][]>[e][]时，方程无解；
当[lna][]=即[a][]=[e][]时，方程有一个解；
当>[lna][]>0，即[e][]>[a][]>1时，方程有两个不同的解；
当0>[lna][]即1>[a][]>0时，方程有一个解.
特殊情形当μ=1时，方程ax=x（a>0，a≠1，x>0）的根的结论是：
当a>[e][]时，方程无解，即曲线y=ax与直线y=x无交点；
当a=[e][]时，方程有一个解，即曲线y=ax与直线y=x有一个交点，此时曲线与直线相切；
当[e][]>a>1时，方程有两个不同的解，即曲线y=ax与直线y=x有两个交点；
当1>a>0时，方程有一个解，即曲线y=ax与直线y=x有一个交点.
仅仅凭借幂函数和指数函数的图象，很难正确从图形直观上判断出它们的交点数，直觉有时会欺骗人的眼睛.
四、感悟
纵观上述三个应用，虽然表面上风马牛不相及，但是通过构造辅助函数，最终归结为讨论函数f（x）=的性质. 尤其在高三复习中，教师要引领学生探究知识产生的源头和背景，利用函数思想解决问题，举一反三，触类旁通，跳出题海，提高解题能力和学习效率.