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摘要:高中函数综合题中,经常会出现如“f(x+2)=-f(x)”等隐式条件,对这些条件的有效利用是成功破题的关键. 我们发现学生对这些条件的理解还局限于形式,解题也只会套“样式”. 此时,若能要求学生以自己的自然语言重新解读这些隐式条件,则学生对这类条件本质的把握将大大加强,学生会突然觉得这些条件变得亲切了,从而使学生的思维变得活跃,有利于解决问题.
关键字:隐式条件;条件解读;函数
高中函数综合题中,经常会出现如“f(x+2)=-f(x)”等隐式条件,对这些条件的有效利用是成功破题的关键. 我们发现学生对这些条件的理解还局限于形式,解题也只会套“样式”. 因为不从本质上把握条件,所以思维受到很大的限制,题目的解答也就举步维艰. 此时,若能要求学生以自己的自然语言重新解读这些隐式条件,则学生对这类条件本质的把握将大大加强,学生会突然觉得这些条件变得亲切了,从而使学生的思维变得活跃,有利于解决问题.
下面举例说明.
例1 已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=-,又f(-1)=,求f[f(5)].
解由条件得f(5)=f(3+2)=-= -=-=f(1)=f(-1+2)= -=-5,
则f[f(5)]=f(-5),
又f(x)=-, ①
所以f(-5)=-=-= -=f(-1)=.
反思这是一个完整的解题过程,但因过程较长,而且①这步对学生有一个变形的要求,对高一学生来说是有一定难度的. 在教学中,我们试着让学生抛弃形式,以自己对条件的理解重新解读条件:f(x+2)=-,其中同学甲说:x+2的函数值是x的函数值的负倒数;经教师的提醒,同学乙说:任何比自变量x大2的函数值是自变量x的函数值的负倒数;在教师进一步提示下,同学丙说:因条件可变为f(x)= -,所以任何两个差为2的自变量的函数值都成负倒数关系;同学丙说:因一个数的负倒数的负倒数是本身,所以任意两个差为4的自变量的函数值相等. 到此,学生们再回头解题,就觉得思路自然,解答流畅,而且最后一位同学的回答已经揭示了该函数的周期性质,对问题的把握已超出了问题的本身.
例2已知函数f(x)定义在R上,且对于任意实数x都满足f(x+2)=2-f(4-x),又函数在[3,+∞)上有最大值4,最小值-1,求函数f(x)在R上的最大值与最小值.
分析因为此题给的隐式条件是“非标准型”,所以借助套形式的方法,解此题难度会很大,这就要求必须解读隐式条件,挖掘隐含信息. 为此,在课堂上我们建议学生尽可能去寻找式中的关系,马上有同学甲说:x+2与4-x加起来是常量6,教师进一步追问:这说明什么?同学乙说:这两个量画在坐标轴上以3为中点,教师总结:函数的两个自变量有这个关系,那么对应的函数值关系如何?同学丙说:将条件写为f(x+2)+f(4-x)=2,说明对应的函数值画到坐标轴上以1为中点,教师趁热打铁:那么综合起来说明了什么规律?同学丁说:该函数图象上的点(x+2,f(x+2))与点(4-x,f(4-x))关于点(3,1)对称,同学戊说:因为x可任取,所以该函数的图象关于点(3,1)成中心对称. 解读了这个性质,同学利用图象很顺利地得到答案:最大值为4,最小值为-2.
新课程倡导“强调本质,注意适度形式化”的理念,所以我们应该利用我们的教学机会,培养学生透过形式看本质的意识与能力.
关键字:隐式条件;条件解读;函数
高中函数综合题中,经常会出现如“f(x+2)=-f(x)”等隐式条件,对这些条件的有效利用是成功破题的关键. 我们发现学生对这些条件的理解还局限于形式,解题也只会套“样式”. 因为不从本质上把握条件,所以思维受到很大的限制,题目的解答也就举步维艰. 此时,若能要求学生以自己的自然语言重新解读这些隐式条件,则学生对这类条件本质的把握将大大加强,学生会突然觉得这些条件变得亲切了,从而使学生的思维变得活跃,有利于解决问题.
下面举例说明.
例1 已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=-,又f(-1)=,求f[f(5)].
解由条件得f(5)=f(3+2)=-= -=-=f(1)=f(-1+2)= -=-5,
则f[f(5)]=f(-5),
又f(x)=-, ①
所以f(-5)=-=-= -=f(-1)=.
反思这是一个完整的解题过程,但因过程较长,而且①这步对学生有一个变形的要求,对高一学生来说是有一定难度的. 在教学中,我们试着让学生抛弃形式,以自己对条件的理解重新解读条件:f(x+2)=-,其中同学甲说:x+2的函数值是x的函数值的负倒数;经教师的提醒,同学乙说:任何比自变量x大2的函数值是自变量x的函数值的负倒数;在教师进一步提示下,同学丙说:因条件可变为f(x)= -,所以任何两个差为2的自变量的函数值都成负倒数关系;同学丙说:因一个数的负倒数的负倒数是本身,所以任意两个差为4的自变量的函数值相等. 到此,学生们再回头解题,就觉得思路自然,解答流畅,而且最后一位同学的回答已经揭示了该函数的周期性质,对问题的把握已超出了问题的本身.
例2已知函数f(x)定义在R上,且对于任意实数x都满足f(x+2)=2-f(4-x),又函数在[3,+∞)上有最大值4,最小值-1,求函数f(x)在R上的最大值与最小值.
分析因为此题给的隐式条件是“非标准型”,所以借助套形式的方法,解此题难度会很大,这就要求必须解读隐式条件,挖掘隐含信息. 为此,在课堂上我们建议学生尽可能去寻找式中的关系,马上有同学甲说:x+2与4-x加起来是常量6,教师进一步追问:这说明什么?同学乙说:这两个量画在坐标轴上以3为中点,教师总结:函数的两个自变量有这个关系,那么对应的函数值关系如何?同学丙说:将条件写为f(x+2)+f(4-x)=2,说明对应的函数值画到坐标轴上以1为中点,教师趁热打铁:那么综合起来说明了什么规律?同学丁说:该函数图象上的点(x+2,f(x+2))与点(4-x,f(4-x))关于点(3,1)对称,同学戊说:因为x可任取,所以该函数的图象关于点(3,1)成中心对称. 解读了这个性质,同学利用图象很顺利地得到答案:最大值为4,最小值为-2.
新课程倡导“强调本质,注意适度形式化”的理念,所以我们应该利用我们的教学机会,培养学生透过形式看本质的意识与能力.