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一元二次方程是初中数学的重要内容,在数学竞赛中经常出现.有些竞赛题从表面上看不是一元二次方程的问题,但是通过转化、变换,可以构造一元二次方程,并借助已熟悉的一元二次方程的知识及解题技巧,达到化难为易进而解决问题.下面以四道竞赛题为例,介绍构造一元二次方程的几种方法.
一、以根定义 巧构方程
例1 已知实数 ,且满足 , ,则 .
分析 乍看这道题,好像要分别求出 和 ,若求 ,计算量非常大。我们只要将这两个方程各自整理成一般式,再观察所得的两个方程的系数,不难发现,其本质上为同一个方程.
解 由已知得: 为方程 的两個实数根,即为 的实数根;
所以 , ,可得:
所以,原式=
= .
二、二元礼让 巧构方程
例 2 已知 都是整数,且 , ,求 的值.
分析 以上组合是三元二次方程组,若是直接求 的值,难度较大,不妨通过消元,整理成一个二元二次方程,再将其看成关于 的一元二次方程.
解 由 得 ;
将 代入 ,得: ;
整理得: ;
解得: ;
∵ 都是整数,
∴ 是完全平方数4;
∴ 只能取 ; ; ; ;
∴相对应 4;0;4;0;
故 5或-1或3或-3.
三、用判别式 巧构方程
例3 已知: 是完全平方式.求证: .
分析 题目中的完全平方式出现了四个字母,要直接应用它来证 ,相当难,但若将已知条件转化成“关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根”,此题就非常简单了.
证明 把已知代数式整理成关于 的二次三项式,得
原式= ,①
∵它是完全平方式,
∴关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根;
∴△=0.
即 .
整理得:
∴ ,
∴ .
要使等式成立,必须且只需: ,解得 .
四、根与系数 巧构方程
例4 已知实数 满足: ,(1)求 中的最大者的最小值;(2)求 的最小值(2003年全国初中数学竞赛试题).
分析 从形式上看,容易联想到可以转化为两数和与两数积的形式,这样就可以根据根与系数的关系,构造一元二次方程来求解.
解 (1) 设 是最大者,由 ,可知 ,并可化为 , 由 可化为 ,因此,实数 可以看作关于 的一元二次方程 的两个根,由 是实数,所以 ,得:
,即 , ,因c>0,
所以c+2>0,得(c-2)(c-4)≥0,解得:c≤2或c≥4,因为c是最大者,故c的最小值是4..
(2) 因为 ,
所以 .
故: 的最小值是6.
一、以根定义 巧构方程
例1 已知实数 ,且满足 , ,则 .
分析 乍看这道题,好像要分别求出 和 ,若求 ,计算量非常大。我们只要将这两个方程各自整理成一般式,再观察所得的两个方程的系数,不难发现,其本质上为同一个方程.
解 由已知得: 为方程 的两個实数根,即为 的实数根;
所以 , ,可得:
所以,原式=
= .
二、二元礼让 巧构方程
例 2 已知 都是整数,且 , ,求 的值.
分析 以上组合是三元二次方程组,若是直接求 的值,难度较大,不妨通过消元,整理成一个二元二次方程,再将其看成关于 的一元二次方程.
解 由 得 ;
将 代入 ,得: ;
整理得: ;
解得: ;
∵ 都是整数,
∴ 是完全平方数4;
∴ 只能取 ; ; ; ;
∴相对应 4;0;4;0;
故 5或-1或3或-3.
三、用判别式 巧构方程
例3 已知: 是完全平方式.求证: .
分析 题目中的完全平方式出现了四个字母,要直接应用它来证 ,相当难,但若将已知条件转化成“关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根”,此题就非常简单了.
证明 把已知代数式整理成关于 的二次三项式,得
原式= ,①
∵它是完全平方式,
∴关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根;
∴△=0.
即 .
整理得:
∴ ,
∴ .
要使等式成立,必须且只需: ,解得 .
四、根与系数 巧构方程
例4 已知实数 满足: ,(1)求 中的最大者的最小值;(2)求 的最小值(2003年全国初中数学竞赛试题).
分析 从形式上看,容易联想到可以转化为两数和与两数积的形式,这样就可以根据根与系数的关系,构造一元二次方程来求解.
解 (1) 设 是最大者,由 ,可知 ,并可化为 , 由 可化为 ,因此,实数 可以看作关于 的一元二次方程 的两个根,由 是实数,所以 ,得:
,即 , ,因c>0,
所以c+2>0,得(c-2)(c-4)≥0,解得:c≤2或c≥4,因为c是最大者,故c的最小值是4..
(2) 因为 ,
所以 .
故: 的最小值是6.