一元二次方程是初中数学的重要内容，在数学竞赛中经常出现.有些竞赛题从表面上看不是一元二次方程的问题，但是通过转化、变换，可以构造一元二次方程，并借助已熟悉的一元二次方程的知识及解题技巧，达到化难为易进而解决问题.下面以四道竞赛题为例，介绍构造一元二次方程的几种方法.
　　一、以根定义 巧构方程
　　例1 已知实数 ，且满足 ， ，则 .
　　分析 乍看这道题，好像要分别求出 和 ，若求 ，计算量非常大。我们只要将这两个方程各自整理成一般式，再观察所得的两个方程的系数，不难发现，其本质上为同一个方程.
　　解 由已知得： 为方程 的两個实数根，即为 的实数根；
　　所以 ， ，可得：
　　所以，原式=
　　= .
　　二、二元礼让 巧构方程
　　例 2 已知 都是整数，且 ， ，求 的值.
　　分析 以上组合是三元二次方程组，若是直接求 的值，难度较大，不妨通过消元，整理成一个二元二次方程，再将其看成关于 的一元二次方程.
　　解 由 得 ；
　　将 代入 ，得： ；
　　整理得： ；
　　解得： ；
　　∵ 都是整数，
　　∴ 是完全平方数4；
　　∴ 只能取 ； ； ； ；
　　∴相对应 4；0；4；0；
　　故 5或-1或3或-3.
　　三、用判别式 巧构方程
　　例3 已知： 是完全平方式.求证： .
　　分析 题目中的完全平方式出现了四个字母，要直接应用它来证 ，相当难，但若将已知条件转化成“关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根”，此题就非常简单了.
　　证明 把已知代数式整理成关于 的二次三项式，得
　　原式= ，①
　　∵它是完全平方式，
　　∴关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根；
　　∴△=0.
　　即 .
　　整理得：
　　∴ ，
　　∴ .
　　要使等式成立，必须且只需： ，解得 .
　　四、根与系数 巧构方程
　　例4 已知实数 满足： ，（1）求 中的最大者的最小值；（2）求 的最小值（2003年全国初中数学竞赛试题）.
　　分析 从形式上看，容易联想到可以转化为两数和与两数积的形式，这样就可以根据根与系数的关系，构造一元二次方程来求解.
　　解 （1） 设 是最大者，由 ，可知 ，并可化为 ， 由 可化为 ，因此，实数 可以看作关于 的一元二次方程 的两个根，由 是实数，所以 ，得：
　　，即 ， ，因c>0，
　　所以c+2>0，得（c-2）（c-4）≥0，解得：c≤2或c≥4，因为c是最大者，故c的最小值是4..
　　（2） 因为 ，
　　所以 .
　　故： 的最小值是6.