论文部分内容阅读
平面向量和解析几何是高中数学的两个重要组成部分，向量更多的体现了它的工具性，向量的运用有时候会把繁琐的解析几何问题转化为简单明了的代数问题，使代数和几何完美结合。本文通过对同一题目用解析法和向量法两种方法的对比，来体现向量方法在解决距离、垂直关系和角度问题时的简洁性，体现平面向量方法在解析几何中的应用。
在教科书中，点到直线的距离公式是用纯解析几何方法给出的，运算很复杂. 在理解解析方法的基础上，不妨引进平面向量方法。下面给出解析法和向量法，由读者自己体会两种方法在解决解析几何问题的作用。
例1 已知点 ，直线 ，求点p到直线l的距离d.
向量法1 令 是直线上任意一点，则，
又因为直线l的法向量为 ，所以有
注， 知 为直线 的一个法向量，所以与m直线平行的直线 的一个法向量为 .
向量法2 令 是直线上任意一点，则 .
又直线l的法向量为 且，
由点T的任意性，可知 的最小值为点P到直线l的距离，即：
比较上述不同方法不难发现，平面向量作为工具在解决解析几何中的距离问题时，可以化繁为简，避免复杂的代数计算。
例2已知圆的方程是 ，求过圆上一点 的切线方程.
解析法 若 ，则直线OM的方程为 ，从而过点M的圆的切线的斜率为 ，因此所求圆的切线方程为 .
化简，得 .
由于 在圆上，所以 .
所以，过圆 上一点 的圆的切线方程为 . ①
如果 或 ，容易验证，过点M的圆的切线方程也可以表示为①的形式。所以，所求圆的切线方程为： .
向量法 设 是所求切线上的任意一点，又 ，
因此，所求切线方程为 .
比较两个解法可以看到，在处理上述解析几何中的垂直问题时，平面向量方法的工具性和优越性得到了充分的展现，同时避免了纯解析几何方法中的分类讨论（有斜率和没斜率）。
例3 设抛物线C： 的焦点为F，动点P在直线 上运动，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，且与抛物线C分别相切于A，B两点.
通过例3可以看到，解析法难度较大，特别是两条直线“到角”公式的引用，多数学生难以完成，而平面向量方法可以轻松计算两条直线所成的角，以其简单的几何意义和算法，避免了复杂的计算。
通过上述具体解析几何问题的求解，我们会体验到平面向量方法在解决解析几何的距离问题、垂直问题和角度问题时，会有简单明了、化繁为简的效果。从学生能力发展的角度出发，要求教师在解析几何教学中应该有目的、有计划地将平面向量方法运用到解析几何中去，充分发挥向量的工具作用，防止为追求纯粹的解析而让学生“伤心”的解析。
在教科书中，点到直线的距离公式是用纯解析几何方法给出的，运算很复杂. 在理解解析方法的基础上，不妨引进平面向量方法。下面给出解析法和向量法，由读者自己体会两种方法在解决解析几何问题的作用。
例1 已知点 ，直线 ，求点p到直线l的距离d.
向量法1 令 是直线上任意一点，则，
又因为直线l的法向量为 ，所以有
注， 知 为直线 的一个法向量，所以与m直线平行的直线 的一个法向量为 .
向量法2 令 是直线上任意一点，则 .
又直线l的法向量为 且，
由点T的任意性，可知 的最小值为点P到直线l的距离，即：
比较上述不同方法不难发现，平面向量作为工具在解决解析几何中的距离问题时，可以化繁为简，避免复杂的代数计算。
例2已知圆的方程是 ，求过圆上一点 的切线方程.
解析法 若 ，则直线OM的方程为 ，从而过点M的圆的切线的斜率为 ，因此所求圆的切线方程为 .
化简，得 .
由于 在圆上，所以 .
所以，过圆 上一点 的圆的切线方程为 . ①
如果 或 ，容易验证，过点M的圆的切线方程也可以表示为①的形式。所以，所求圆的切线方程为： .
向量法 设 是所求切线上的任意一点，又 ，
因此，所求切线方程为 .
比较两个解法可以看到，在处理上述解析几何中的垂直问题时，平面向量方法的工具性和优越性得到了充分的展现，同时避免了纯解析几何方法中的分类讨论（有斜率和没斜率）。
例3 设抛物线C： 的焦点为F，动点P在直线 上运动，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，且与抛物线C分别相切于A，B两点.
通过例3可以看到，解析法难度较大，特别是两条直线“到角”公式的引用，多数学生难以完成，而平面向量方法可以轻松计算两条直线所成的角，以其简单的几何意义和算法，避免了复杂的计算。
通过上述具体解析几何问题的求解，我们会体验到平面向量方法在解决解析几何的距离问题、垂直问题和角度问题时，会有简单明了、化繁为简的效果。从学生能力发展的角度出发，要求教师在解析几何教学中应该有目的、有计划地将平面向量方法运用到解析几何中去，充分发挥向量的工具作用，防止为追求纯粹的解析而让学生“伤心”的解析。