论文部分内容阅读
一、概率论论的起源
概率是一门研究随机现象的数量规律的科学，它起源于博弈问题。15-16世纪，意大利数学家帕乔利、塔塔利亚和卡尔丹的著作中都曾讨论过俩人赌博的赌金分配等概率问题。17世纪中叶，荷兰数学家惠更斯发表了《论赌博中的计算》，这是最早的概率论著作。这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念与定理，标志着概率论的诞生。
17、18世纪之交，有不少数学家从事概率的研究。雅格布·伯努利的巨著《猜度术》是一项重大的成就，“伯努利定理”著称的极限定理是是“大数定律”的最早形式。伯努利之后，德莫瓦佛的《机会的学说》包含“德莫佛—拉普拉斯定理”。开辟了概率论的新时期。泊松则推广了大数定律，提出了著名的“泊松分布”。
19世纪后期，极限理论的发展称为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫对此做出了重大贡献。他建立了关于独立随机变量序列的大数定律，推广了德莫弗—拉普拉斯的极限定理。19世纪末，一方面概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要，另一方面，科学家们在这一时期发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处。
二、现代概率论在实践中曲折发展
在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法，均促进了概率论的发展。但是，随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。
由于19 世纪的分析没有严格化，以其为研究工具的概率论的严格化就成了空中楼阁。虽后来分析的基础严密化了，但测度论尚未发明。因此，20 世纪前的概率论明显缺乏数学的严格化和严密性，甚至连庞加莱也不能把概率论演绎成逻辑上严密完美的学科。
诸如“贝特朗悖论”以及概率论在物理、生物等领域的应用都需要对概率论的概念、原理做出解释。正是这些问题促使人们思考概率论的基础问题及概率论所依赖的数学技术问题。1900 年，希尔伯特在巴黎国际数学家大会上所作报告中的第六个问题，就是呼吁把概率论公理化。很快该问题就成为当时数学乃至整个自然科学界亟待解决的问题之一。最早对概率论严格化进行尝试的是俄罗斯数学家伯恩斯坦和奥地利数学家米泽斯。
因此可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。
1917 年伯恩斯坦发表了题为“论概率论的公理化基础”的论文，随后的几年里他仍致力于研究概率论公理化。1927 年其《概率论》第一版问世，最后一个版本即第四版出现于1946 年。伯恩斯坦在书中给出了一个详细的概率论公理体系。
三、概率论的理论基础
概率论的第一本专著是1713年问世的雅各·贝努利的《推测术》。经过二十多年的艰难研究，贝努利在该树种，表述并证明了著名的“大数定律”。所谓“大数定律”，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，伯努利被称为概率论的奠基人。
定义随机事件、概率等概念后，伯恩斯坦引进了三个公理。基于这三个公理构造出整个概率论大厦，但其理论体系并不令人满意。正如柯尔莫哥洛夫所言，第一个系统的概率论公理化体系是伯恩斯坦所给，其建立的基础是依据随机事件的概率对事件做定性比较的思想。在定性比较思想中概率的数值似乎是推导而来，而不是基本概念。米泽斯的主要工作是概率论的频率定义和统计定义的公理化。在《概率，统计和真理》（1928） 一书中，他建立了频率的极限理论，强调概率概念只有在大量现象存在时才有意义。虽然频率定义在直观上易于理解，易为实际工作者和物理学家所接受，便于在实际工作中应用，但像某个事件在一独立重复试验序列中出现无穷多次这一事件的概率，米泽斯理论是无法定义的。
为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的《概率论基础》，这是概率论的一部经典性著作。其中，科尔莫戈罗夫给出了公理化概率论的一系列基本概念，提出了六条公理，整个概率论大厦可以从这六条公理出发建筑起来。科尔莫戈罗夫的公理体系逐渐得到数学家们的普遍认可。由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，并通过集合论与其它数学分支密切地联系者。用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为他以后的概率论的迅速发展奠定了基础。
四、概率论的进一步的发展
在公理化基础上，现代概率论取得了一系列理论突破。公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新的起点。1931年，科尔莫戈罗夫用分析的方法奠定了一类普通的随机过程。所谓随机过程：如果固定某一观测时刻t，事物在时刻t 出现的状态是随机的，即每次所得到的结果是不相同的一个过程。随机过程论是起源于马尔柯夫关于“成连续锁的试验”的研究。这一类普通的随机过程是马尔柯夫的理论基础。
科尔莫戈罗夫之后，对随机过程的研究做出重大贡献而影响着整个现代概率论的重要代表人物有莱维、辛钦、杜布和伊藤清等。1934年，辛钦提出平稳过程的相关理论。1948年莱维出版的著作《随机过程与布朗运动》提出了独立增量过程的一般理论，并以此为基础极大地推进了作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究。1939年，维尔引进“鞅”的概念，1950年起，杜布对鞅概念进行了系统的研究而使鞅论成为一门独立的分支。从1942年开始，日本数学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程，不仅开辟了随机过程研究的新道路，而且为随机分析这门数学新分支的创立和发展奠定了基础。概率论的发展史说明了理论与实际之间的密切关系。许多研究方向的提出，归根到底是有其实际背景的。反过来，当这些方向被深入研究后，又可指导实践，进一步扩大和深化应用范围。
概率是一门研究随机现象的数量规律的科学，它起源于博弈问题。15-16世纪，意大利数学家帕乔利、塔塔利亚和卡尔丹的著作中都曾讨论过俩人赌博的赌金分配等概率问题。17世纪中叶，荷兰数学家惠更斯发表了《论赌博中的计算》，这是最早的概率论著作。这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念与定理，标志着概率论的诞生。
17、18世纪之交，有不少数学家从事概率的研究。雅格布·伯努利的巨著《猜度术》是一项重大的成就，“伯努利定理”著称的极限定理是是“大数定律”的最早形式。伯努利之后，德莫瓦佛的《机会的学说》包含“德莫佛—拉普拉斯定理”。开辟了概率论的新时期。泊松则推广了大数定律，提出了著名的“泊松分布”。
19世纪后期，极限理论的发展称为概率论研究的中心课题，俄国数学家切比雪夫对此做出了重大贡献。他建立了关于独立随机变量序列的大数定律，推广了德莫弗—拉普拉斯的极限定理。19世纪末，一方面概率论在统计物理等领域的应用提出了对概率论基本概念与原理进行解释的需要，另一方面，科学家们在这一时期发现的一些概率论悖论也揭示出古典概率论中基本概念存在的矛盾与含糊之处。
二、现代概率论在实践中曲折发展
在概率问题早期的研究中，逐步建立了事件、概率和随机变量等重要概念以及它们的基本性质。后来由于许多社会问题和工程技术问题，如人口统计、保险理论、天文观测、误差理论、产品检验和质量控制等。这些问题的提法，均促进了概率论的发展。但是，随着概率论中各个领域获得大量成果，以及概率论在其他基础学科和工程技术上的应用，由拉普拉斯给出的概率定义的局限性很快便暴露了出来，甚至无法适用于一般的随机现象。
由于19 世纪的分析没有严格化，以其为研究工具的概率论的严格化就成了空中楼阁。虽后来分析的基础严密化了，但测度论尚未发明。因此，20 世纪前的概率论明显缺乏数学的严格化和严密性，甚至连庞加莱也不能把概率论演绎成逻辑上严密完美的学科。
诸如“贝特朗悖论”以及概率论在物理、生物等领域的应用都需要对概率论的概念、原理做出解释。正是这些问题促使人们思考概率论的基础问题及概率论所依赖的数学技术问题。1900 年，希尔伯特在巴黎国际数学家大会上所作报告中的第六个问题，就是呼吁把概率论公理化。很快该问题就成为当时数学乃至整个自然科学界亟待解决的问题之一。最早对概率论严格化进行尝试的是俄罗斯数学家伯恩斯坦和奥地利数学家米泽斯。
因此可以说，到20世纪初，概率论的一些基本概念，诸如概率等尚没有确切的定义，概率论作为一个数学分支，缺乏严格的理论基础。
1917 年伯恩斯坦发表了题为“论概率论的公理化基础”的论文，随后的几年里他仍致力于研究概率论公理化。1927 年其《概率论》第一版问世，最后一个版本即第四版出现于1946 年。伯恩斯坦在书中给出了一个详细的概率论公理体系。
三、概率论的理论基础
概率论的第一本专著是1713年问世的雅各·贝努利的《推测术》。经过二十多年的艰难研究，贝努利在该树种，表述并证明了著名的“大数定律”。所谓“大数定律”，简单地说就是，当实验次数很大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更广泛应用领域的桥梁。因此，伯努利被称为概率论的奠基人。
定义随机事件、概率等概念后，伯恩斯坦引进了三个公理。基于这三个公理构造出整个概率论大厦，但其理论体系并不令人满意。正如柯尔莫哥洛夫所言，第一个系统的概率论公理化体系是伯恩斯坦所给，其建立的基础是依据随机事件的概率对事件做定性比较的思想。在定性比较思想中概率的数值似乎是推导而来，而不是基本概念。米泽斯的主要工作是概率论的频率定义和统计定义的公理化。在《概率，统计和真理》（1928） 一书中，他建立了频率的极限理论，强调概率概念只有在大量现象存在时才有意义。虽然频率定义在直观上易于理解，易为实际工作者和物理学家所接受，便于在实际工作中应用，但像某个事件在一独立重复试验序列中出现无穷多次这一事件的概率，米泽斯理论是无法定义的。
为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫哥洛夫。1933年，他发表了著名的《概率论基础》，这是概率论的一部经典性著作。其中，科尔莫戈罗夫给出了公理化概率论的一系列基本概念，提出了六条公理，整个概率论大厦可以从这六条公理出发建筑起来。科尔莫戈罗夫的公理体系逐渐得到数学家们的普遍认可。由于公理化，概率论成为一门严格的演绎科学，并通过集合论与其它数学分支密切地联系者。用公理化结构，这个结构明确定义了概率论发展史上的一个里程碑，为他以后的概率论的迅速发展奠定了基础。
四、概率论的进一步的发展
在公理化基础上，现代概率论取得了一系列理论突破。公理化概率论首先使随机过程的研究获得了新的起点。1931年，科尔莫戈罗夫用分析的方法奠定了一类普通的随机过程。所谓随机过程：如果固定某一观测时刻t，事物在时刻t 出现的状态是随机的，即每次所得到的结果是不相同的一个过程。随机过程论是起源于马尔柯夫关于“成连续锁的试验”的研究。这一类普通的随机过程是马尔柯夫的理论基础。
科尔莫戈罗夫之后，对随机过程的研究做出重大贡献而影响着整个现代概率论的重要代表人物有莱维、辛钦、杜布和伊藤清等。1934年，辛钦提出平稳过程的相关理论。1948年莱维出版的著作《随机过程与布朗运动》提出了独立增量过程的一般理论，并以此为基础极大地推进了作为一类特殊马尔可夫过程的布朗运动的研究。1939年，维尔引进“鞅”的概念，1950年起，杜布对鞅概念进行了系统的研究而使鞅论成为一门独立的分支。从1942年开始，日本数学家伊藤清引进了随机积分与随机微分方程，不仅开辟了随机过程研究的新道路，而且为随机分析这门数学新分支的创立和发展奠定了基础。概率论的发展史说明了理论与实际之间的密切关系。许多研究方向的提出，归根到底是有其实际背景的。反过来，当这些方向被深入研究后，又可指导实践，进一步扩大和深化应用范围。