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摘要高中数学教师的创新性思维和创新教学方法将直接影响到学生的思维方式和创新能力,数学教师对学生进行创造性思维和创新能力的培养非常重要。本文作者联系当前数学实际教学中一些创新教法,试图寻找到培养学生思维创新能力的一些策略和方法,如与数学公式或数学定理结合等方法,为相关教学工作提供参考。
关键词高中数学 教学法 思维创新能力
中图分类号:G633.6文献标识码:A
当代青少年学生思维活跃,记忆力强盛,想象力丰富,有崇高的理想和执着的追求,灵感出现频率高,把他们培养成为创造型人才完全是必要可能的。那么,培养创造型人才的思维创新能力有哪些基本途径呢?下面通过举例、分析,说明在教学实践中应怎样培养学生的思维创新能力。
1 在数学公式的教学过程中去培养学生的思维创新能力
在高三复习课中关于数学公式的教学,笔者认为用题组的形式进行教学,可以培养和提高学生的思维创新能力。
例如,在《平面解析几何》里,关于中点坐标公式的高三复习课教学,可以设计如下复习题组(6道题目):
【题目1】求两点A(7,4)和B(3,2)的中点坐标。
(分析:能力类型为A级,使学生具有模仿、套用公式的能力。)
【题目2】三角形的三个顶点是A(2,1)、B(-2,3)和C(0,-1),求三角形ABC三条中线的长度。
(分析:该题较前一题有所创新,从而培养学生在解决问题时思考可间接应用所学知识解决问题的思维创新能力,能力类型属于B级。)
【题目3】已知两点A(3,-3),B(2,1),求点A关于点B的对称点的坐标。
(分析:该题的构成又有所创新,让学生感知并动脑去思考解答,可以培养学生把新问题转化为用所学知识来解决问题的转化、化归的思维创新能力。创新能力水平属于C级。)
【题目4】已知三点A(x,5), B(-2,y), C(1,1),且点C平分线段AB,求x,y.
(分析:该题目的构成又是一种创新形式,让学生感知并动脑思考解答,可以培养学生在解决问题时应先分析其实质以及它与所学知识之间的联系或等价转化等思维创新能力。创新能力水平属于C级。)
【题目5】(97年全国高考题17题)已知直线x-y=2与抛物线交于A、B两点,那么线段AB的中点坐标是。
(分析:该题目的构成有多个知识点,有新的突破,但从中点坐标公式的教学角度看,是一道十分有创新性的题目。在教学过程中,让学生进行思考、分析解答。由于该题是一题多解类型,故此可以培养学生的发散思维与聚合思维的创新能力。创新能力水平属于D级。)
【题目6】(08年天津卷15)已知圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线y = x+1对称。直线3x+4y-11 = 0与圆C相交于A,B两点,且|AB| = 6,则圆C的方程为________。x2+(y+1)2 = 18
(分析:该题目的构成有多个知识点,有新的突破,但从中点坐标公式的教学角度看,是一道十分有创新性的题目。在教学过程中,让学生进行思考、分析解答。由于该题是一题多解类型,故此可以培养学生的发散思维与聚合思维的创新能力。创新能力水平属于D级。)
又如在《平面解析几何》里,关于直线的点斜式方程的高三复习课教学,可以设计如下复习题组(5道题目):
【题目1】求斜率为2且过点Q(7,4)的直线方程。
(分析:能力类型为A级,使学生具有模仿和套用公式的能力。)
【题目2】已知三点A(1,-1),B(3,3),C(4,5),求证:三点在一条直线上。
(分析:该题较前一题有所创新,从而培养学生在解决问题时思考可间接应用所学知识解决问题的思维创新能力,创新能力类型属于B级。)
【题目3】(08年重庆卷15)直线d与圆x2+y2+2x-4y+a = 0 (a<3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1),则直线d的方程为_______。答案:x-y+1=0。
(分析:该题目的构成有多个知识点,有新的突破,但从点斜式方程的教学角度看,是一道十分有创新性的题目。在教学过程中,让学生去思考,去分析解答。由于该题是一题多解类型,故此可以培养学生的发散思维与聚合思维的创新能力。创新能力水平属于C级。)
【题目4】(08年广东卷11)经过圆x2+2x+y2 = 0的圆心C,且与直线x+y = 0 垂直的直线方程是________。答案:x-y+1 = 0 。
(分析:与题目3的相同)
【题目5】(07年江苏卷19)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y = x2相交于A、B两点,一条垂直于x轴的直线,分别与线段AB和直线l:y = -c交于P,Q。
(1)若,求c的值;(5分)
(2)若P为线段AB的中点,求证:QA为此抛物线的切线;(5分)
(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。(4分)
(分析:该题目的构成有多个知识点,有新的突破,但从点斜式方程的教学角度看,是一道十分有创新性的题目。在教学过程中,让学生对它进行思考、分析解答,可以培养学生的发散思维与聚合思维的思维创新能力。创新能力水平属于D级。)
2 在数学概念,数学定理或者数学方法的教学过程中亦可以设计一些题组来培养和提高学生的思维创新能力
同样地,在高三复习课中关于数学概念、定理或者数学思想方法的教学,用题组的形式进行教学,可以培养和提高学生的思维创新能力。教学实践表明,本人的教法是成功的,我所教班级学生的高考数学成绩名列前茅。
例如,在《立体几何》里,关于两个平面平行的判定定理的高三复习课的教学,可以设计如下复习题组(4道题目):
两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一平面,那么这两个平面平行。
【题目1】已知三棱锥P-ABC中,E、F、G分别是侧棱PA、PB、PC的中点,求证:平面EFG // 平面ABC。
(分析:能力类型为A级,使学生具有运用该定理进行推理论证的能力。)
【题目2】求证:垂直于同一直线的两个平面平行。
(分析:与前一题相比,该题难度大一些,可以培养学生把新问题转化为用所学知识来解决问题的转化、化归的思维创新能力。能力类型属于B级。)
【题目3】已知直线a、b异面,平面α过a且平行于b,平面β过b且平行于a,求证:α∥β。
(分析:该题的构成相对有所创新,让学生感知并动脑去思考解答,可以培养学生把新问题转化为用所学知识来解决问题的转化、化归的思维创新能力。创新能力水平属于C级。)
【题目4】如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE//CF,∠BCF=∠CEF=90o, AD=,EF=2。
求证:AE // 平面DCF;
(分析:该题目的构成又是一种创新形式,让学生感知并动脑思考解答,可以培养学生发散思维与聚合思维的思维创新能力,创新能力水平属于D级。)
3 通过一题多解和一题多变的训练来培养学生的发散与聚合思维能力和推理论证能力,从而培养学生的思维创新能力
在教学过程中,通过一题多解和一题多变的训练,可以培养和提高学生的发散与聚合思维能力和推理论证能力,从而培养和提高学生的创新水平和创新能力。例如,下面的[题目1]和[题目2]。
【题目1】在三棱锥P-ABC中,AC = BC = 2,∠ACB = 90o,AP = BP = AB,PC⊥AC。(Ⅰ)求证:PC⊥AB;(Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小;(Ⅲ)求点C到平面APB的距离。
方法一:几何法方法二:坐标法
方法一:(几何法)(Ⅰ);(Ⅱ)二面角B-AP-C的大小为arcsin;(Ⅲ)点C到平面APB的距离为。
方法二:(Ⅰ)(几何法);(Ⅱ)坐标法;(Ⅲ)坐标法。
【题目2】如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE//CF,∠BCF=∠CEF=90o,AD = ,EF=2。
(Ⅰ)求证:AE // 平面DCF;
(Ⅱ)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60o?
4 放手让学生大胆地去创造或创新
在教学过程中,教师要放手让学生大胆地去创造或创新,这样做才能使学生学会创新,具有较高的创新能力。例如,在我的启发和引导下,学生成功地有创造性地解答了下面问题。
【问题1】某盏吊灯上并联着4个灯泡。如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.7,那么在这段时间内吊灯能照明的概率是多少?
解:P(x> 0)=1-P(x = 0)=1- (1-0.7)4 = 0.9919
【问题2】若某人每天得到纯收入超过100元的概率是0.9,每天得到纯收入超过100元的结果相互独立,那么在她连续4天的纯收入中,第1天未超过100元,但后3天都超过100元的概率是多少?
解:P=(1-0.9)×0.9×0.9×0.9=0.0729
【问题3】如图,这是一个城镇的街道网络图,某人从A到B最短的行走方式是向东或向北行走,经过哪个街道都是等可能的,则这个人经过线段CD的概率是()
A.B.C.D.
答案为A。
总之,只要我们能够成功地采用题组教学法、问题教学法、一题多解和一题多变的教学法,并注意循序渐进、由浅入深、因材施教等教学原则,就一定能够培养和提高学生的思维创新能力。
参考文献
[1]韩金平.关于高中数学教学的若干思考.中国科教创新导刊,2008(11).
[2]赵险峰.谈谈初、高中数学教学的衔接. 教育前沿(理论版),2008(9).
[3]王勇.也谈高中数学教学中学生思维能力的培养途径.中学课程资源,2008(5).
[4]徐道高.建构观下的高中数学教学.数学教学研究,2008(2).
[5]“第一届高中数学教学新思维大赛”启事.中学生数理化(高考版),2008(2).
[6]林剑波.如何抓好高中数学教学.广东教育(教研版),2008(2).
关键词高中数学 教学法 思维创新能力
中图分类号:G633.6文献标识码:A
当代青少年学生思维活跃,记忆力强盛,想象力丰富,有崇高的理想和执着的追求,灵感出现频率高,把他们培养成为创造型人才完全是必要可能的。那么,培养创造型人才的思维创新能力有哪些基本途径呢?下面通过举例、分析,说明在教学实践中应怎样培养学生的思维创新能力。
1 在数学公式的教学过程中去培养学生的思维创新能力
在高三复习课中关于数学公式的教学,笔者认为用题组的形式进行教学,可以培养和提高学生的思维创新能力。
例如,在《平面解析几何》里,关于中点坐标公式的高三复习课教学,可以设计如下复习题组(6道题目):
【题目1】求两点A(7,4)和B(3,2)的中点坐标。
(分析:能力类型为A级,使学生具有模仿、套用公式的能力。)
【题目2】三角形的三个顶点是A(2,1)、B(-2,3)和C(0,-1),求三角形ABC三条中线的长度。
(分析:该题较前一题有所创新,从而培养学生在解决问题时思考可间接应用所学知识解决问题的思维创新能力,能力类型属于B级。)
【题目3】已知两点A(3,-3),B(2,1),求点A关于点B的对称点的坐标。
(分析:该题的构成又有所创新,让学生感知并动脑去思考解答,可以培养学生把新问题转化为用所学知识来解决问题的转化、化归的思维创新能力。创新能力水平属于C级。)
【题目4】已知三点A(x,5), B(-2,y), C(1,1),且点C平分线段AB,求x,y.
(分析:该题目的构成又是一种创新形式,让学生感知并动脑思考解答,可以培养学生在解决问题时应先分析其实质以及它与所学知识之间的联系或等价转化等思维创新能力。创新能力水平属于C级。)
【题目5】(97年全国高考题17题)已知直线x-y=2与抛物线交于A、B两点,那么线段AB的中点坐标是。
(分析:该题目的构成有多个知识点,有新的突破,但从中点坐标公式的教学角度看,是一道十分有创新性的题目。在教学过程中,让学生进行思考、分析解答。由于该题是一题多解类型,故此可以培养学生的发散思维与聚合思维的创新能力。创新能力水平属于D级。)
【题目6】(08年天津卷15)已知圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线y = x+1对称。直线3x+4y-11 = 0与圆C相交于A,B两点,且|AB| = 6,则圆C的方程为________。x2+(y+1)2 = 18
(分析:该题目的构成有多个知识点,有新的突破,但从中点坐标公式的教学角度看,是一道十分有创新性的题目。在教学过程中,让学生进行思考、分析解答。由于该题是一题多解类型,故此可以培养学生的发散思维与聚合思维的创新能力。创新能力水平属于D级。)
又如在《平面解析几何》里,关于直线的点斜式方程的高三复习课教学,可以设计如下复习题组(5道题目):
【题目1】求斜率为2且过点Q(7,4)的直线方程。
(分析:能力类型为A级,使学生具有模仿和套用公式的能力。)
【题目2】已知三点A(1,-1),B(3,3),C(4,5),求证:三点在一条直线上。
(分析:该题较前一题有所创新,从而培养学生在解决问题时思考可间接应用所学知识解决问题的思维创新能力,创新能力类型属于B级。)
【题目3】(08年重庆卷15)直线d与圆x2+y2+2x-4y+a = 0 (a<3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1),则直线d的方程为_______。答案:x-y+1=0。
(分析:该题目的构成有多个知识点,有新的突破,但从点斜式方程的教学角度看,是一道十分有创新性的题目。在教学过程中,让学生去思考,去分析解答。由于该题是一题多解类型,故此可以培养学生的发散思维与聚合思维的创新能力。创新能力水平属于C级。)
【题目4】(08年广东卷11)经过圆x2+2x+y2 = 0的圆心C,且与直线x+y = 0 垂直的直线方程是________。答案:x-y+1 = 0 。
(分析:与题目3的相同)
【题目5】(07年江苏卷19)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中,过y轴正方向上一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y = x2相交于A、B两点,一条垂直于x轴的直线,分别与线段AB和直线l:y = -c交于P,Q。
(1)若,求c的值;(5分)
(2)若P为线段AB的中点,求证:QA为此抛物线的切线;(5分)
(3)试问(2)的逆命题是否成立?说明理由。(4分)
(分析:该题目的构成有多个知识点,有新的突破,但从点斜式方程的教学角度看,是一道十分有创新性的题目。在教学过程中,让学生对它进行思考、分析解答,可以培养学生的发散思维与聚合思维的思维创新能力。创新能力水平属于D级。)
2 在数学概念,数学定理或者数学方法的教学过程中亦可以设计一些题组来培养和提高学生的思维创新能力
同样地,在高三复习课中关于数学概念、定理或者数学思想方法的教学,用题组的形式进行教学,可以培养和提高学生的思维创新能力。教学实践表明,本人的教法是成功的,我所教班级学生的高考数学成绩名列前茅。
例如,在《立体几何》里,关于两个平面平行的判定定理的高三复习课的教学,可以设计如下复习题组(4道题目):
两个平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线平行于另一平面,那么这两个平面平行。
【题目1】已知三棱锥P-ABC中,E、F、G分别是侧棱PA、PB、PC的中点,求证:平面EFG // 平面ABC。
(分析:能力类型为A级,使学生具有运用该定理进行推理论证的能力。)
【题目2】求证:垂直于同一直线的两个平面平行。
(分析:与前一题相比,该题难度大一些,可以培养学生把新问题转化为用所学知识来解决问题的转化、化归的思维创新能力。能力类型属于B级。)
【题目3】已知直线a、b异面,平面α过a且平行于b,平面β过b且平行于a,求证:α∥β。
(分析:该题的构成相对有所创新,让学生感知并动脑去思考解答,可以培养学生把新问题转化为用所学知识来解决问题的转化、化归的思维创新能力。创新能力水平属于C级。)
【题目4】如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE//CF,∠BCF=∠CEF=90o, AD=,EF=2。
求证:AE // 平面DCF;
(分析:该题目的构成又是一种创新形式,让学生感知并动脑思考解答,可以培养学生发散思维与聚合思维的思维创新能力,创新能力水平属于D级。)
3 通过一题多解和一题多变的训练来培养学生的发散与聚合思维能力和推理论证能力,从而培养学生的思维创新能力
在教学过程中,通过一题多解和一题多变的训练,可以培养和提高学生的发散与聚合思维能力和推理论证能力,从而培养和提高学生的创新水平和创新能力。例如,下面的[题目1]和[题目2]。
【题目1】在三棱锥P-ABC中,AC = BC = 2,∠ACB = 90o,AP = BP = AB,PC⊥AC。(Ⅰ)求证:PC⊥AB;(Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小;(Ⅲ)求点C到平面APB的距离。
方法一:几何法方法二:坐标法
方法一:(几何法)(Ⅰ);(Ⅱ)二面角B-AP-C的大小为arcsin;(Ⅲ)点C到平面APB的距离为。
方法二:(Ⅰ)(几何法);(Ⅱ)坐标法;(Ⅲ)坐标法。
【题目2】如图,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直,BE//CF,∠BCF=∠CEF=90o,AD = ,EF=2。
(Ⅰ)求证:AE // 平面DCF;
(Ⅱ)当AB的长为何值时,二面角A-EF-C的大小为60o?
4 放手让学生大胆地去创造或创新
在教学过程中,教师要放手让学生大胆地去创造或创新,这样做才能使学生学会创新,具有较高的创新能力。例如,在我的启发和引导下,学生成功地有创造性地解答了下面问题。
【问题1】某盏吊灯上并联着4个灯泡。如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.7,那么在这段时间内吊灯能照明的概率是多少?
解:P(x> 0)=1-P(x = 0)=1- (1-0.7)4 = 0.9919
【问题2】若某人每天得到纯收入超过100元的概率是0.9,每天得到纯收入超过100元的结果相互独立,那么在她连续4天的纯收入中,第1天未超过100元,但后3天都超过100元的概率是多少?
解:P=(1-0.9)×0.9×0.9×0.9=0.0729
【问题3】如图,这是一个城镇的街道网络图,某人从A到B最短的行走方式是向东或向北行走,经过哪个街道都是等可能的,则这个人经过线段CD的概率是()
A.B.C.D.
答案为A。
总之,只要我们能够成功地采用题组教学法、问题教学法、一题多解和一题多变的教学法,并注意循序渐进、由浅入深、因材施教等教学原则,就一定能够培养和提高学生的思维创新能力。
参考文献
[1]韩金平.关于高中数学教学的若干思考.中国科教创新导刊,2008(11).
[2]赵险峰.谈谈初、高中数学教学的衔接. 教育前沿(理论版),2008(9).
[3]王勇.也谈高中数学教学中学生思维能力的培养途径.中学课程资源,2008(5).
[4]徐道高.建构观下的高中数学教学.数学教学研究,2008(2).
[5]“第一届高中数学教学新思维大赛”启事.中学生数理化(高考版),2008(2).
[6]林剑波.如何抓好高中数学教学.广东教育(教研版),2008(2).