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人教版的新教材在引入空间向量后使原本较为复杂的几何问题得到了不少简化，特别是向量几何中的一个重要的工具——法向量的引入，更使得许多原本复杂难解的题变得简单易解。下面通过日常教学活动中的几个例子，对法向量在立体几何中的运用进行归纳和总结（法向量定义：与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量）。
一、利用法向量求线面所成角
利用法向量求线面角主要适用于图形比较规则，容易建立空间直角坐标系或容易选择空间向量的基底(要求作为基底的三个向量的模及夹角已知)的题目。需要注意的是：当法向量与坐标平面平行或垂直时，可以直接给出法向量；当法向量与坐标平面不平行也不垂直时，由于法向量不唯一，不妨设横坐标、纵坐标、竖坐标中的某一个坐标为1，而且尽量让1以外的坐标在点乘中与0相乘，这样计算量较小。
按照定义，我们只需在一个平面内找出两不共线向量，利用垂直向量的数量积等于零易求出一个平面的法向量。由于向量的方向性，我们求出来的法向量与斜线的方向向量所成的角是线面所成角的余角（或补角）是线面所成角的余角，并且角的大小只与法向量的方向有关，与其模无关。
设为平面的斜线的方向向量，为平面的法向量，则斜线与平面所成角的正弦值。
例1：如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为．求AC1与侧面ABB1A所成的角。
解：＝（，，）
∵平面AB1的法向量＝（0，1，0），且＝＝
∴＝600，从而AC1与侧面ABB1A1所成的角为300
评：利用法向量将求斜线与平面所成的角转化为求两向量的夹角或其补角（如此例中令＝（0，-1，0）的余角是此法的巧妙之处。
二、利用法向量求解面面所成角
面面所成的角即二面角一直是高中立体几何的重点和难点，在历年的高考中也不乏其身影。传统的方法在解这种题型的时候需要利用二面角的平面角的定义寻找平面角，有时难度较大，而引入法向量之后，一切便可迎刃而解。
已知两平面α∩β＝l，，，垂足分别是A，B，过作，交于，连，易证，A，E，B，P四点共面就是二面角的平面角，又A，E，B，P四点共圆，则与互补。因为向量是有方向的，如果以，为法向量求出来的角与二面角互补，而以，为法向量求出来的角与二面角相等。那么，如果预先能判断二面角是锐二面角或是钝二面角，在解题过程中无论以何种方向作为法向量，只需求出法向量夹角的绝对值再根据需要来选取我们要的值即可。
易知：如果在二面角的一个半平面内存在一个不在交线上的点在另一个半平面内的射影位置，如果在另一个半平面内则二面角为锐二面角，如果在另一个半平面外则为钝二面角，如果在交线上则为直二面角。
例2：如图所示，分别是正方体的棱上的点，若，D1P：PD＝1：2，且平面，求二面角的大小。
解：如图建立坐标系，点M，点M在面上的射影是点B，则二面角为锐二面角。又面，，则即为平面的法向量，为平面的法向量。，，则＝＝，又二面角为锐二面角，所以二面角的大小为。
此题如果用传统解法来求平面角的话，对空间想象能力的要求非常高，而且对运算能力的要求也不低，而应用法向量就好比提出了一个固定的程序来解决比较抽象多变的问题，以不变应万变。
三、利用法向量求空间点到平面的距离
空间点到平面的距离大多出现在求锥体体积的题型之中，在传统的解法里我们通常采用等积变形来进行求解，但是有时候很难找出体积相等的两个几何体来，这时候就要应用到法向量来进行求解。设为面外一点，在内的射影为，则为点到面的距离，设，则，又，设的方向向量为，即为的法向量，则＝＝。
例3：已知正四棱锥R-ABCD的底面边长为4，高为6，点P是高的中点，点Q是侧面RBC的重心．求：点Q到面RBC的距离。
解：过点P作PH⊥面RBC于H，设向量是面RBC的法向量
∴
∵
∴
令z=1，则＝（0，3，1），连接PE
∵＝（0，2，-3） ∴
∴＝
∴＝＝
∴点P到面RBC的距离为
评：求点面距离的难点是确定垂足，此法妙就妙在不要确定垂足的确切位置也可将距离求出，真正做到了避繁就简，提高了解题正确率，简化了运算，并且使学习者从复杂的空间想像中解脱出来。
四、求空间异面直线的距离
此法可解决空间中有关距离的一类题，如两异面直线的距离。如右图，两异面直线，将平移至，两有向线段交于点，则构成了一个平面，则只需求的距离。这和上述求空间点到平面的距离类似。
例4：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，求A1B与B1C之间的距离。
解：＝（0，2，-2），＝（-2，0，-2），＝（0，2，0）
设，且，
∴
∴
令x＝1，则＝（1，-1，-1）
设A1B与D1C1间的距离为d，则：
d＝＝＝＝
五、利用法向量证明线面平行，面面平行
证明直线与平面平行，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明平面与平面平行，可转化为证明这两个平面的法向量平行。
例5：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2。求证：
⑴FC1//平面ADE
⑵平面ADE//平面B1C1F
证明：如图1所示建立空间直角坐标系D-xyz，则有D（0，0，0）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、C1（0，2，2）、E（2，2，1）、F（0，0，1），所以＝（0，2，1），＝（2，0，0），＝（0，2，1）
设＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2）分别是平面ADE、平面B1C1F的法向量，则，
∴∴
取y=1，则＝（0，1，-2），同理可求＝（0，1，-2）
⑴∵＝（0，1，-2）·（0，2，1）＝0
∴，又FC1平面ADE∴FC1∥平面ADE
⑵∵∥∴平面ADE∥平面B1C1F
六、利用法向量证明线面垂直，面面垂直
例6：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，F是CD的中点。
求证：⑴D1F⊥平面ADE
⑵平面A1D1F⊥平面ADE
证明：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，令AA1=2，则D（0，0，0），D1（0，0，2），A（2，0，0），E（2，2，1），F（0，1，0），所以=（2，0，0），=（0，2，1），=（0，1，-2）
设＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2）分别是平面ADE、平面A1D1F的法向量。则，。
∴∴
取＝1，则＝（0，1，-2），同理可得：＝（0，2，1）
⑴∥∴D1F⊥平面ADE
⑵（0，1，-2）（0，2，1）=0 ∴
∴平面A1D1F⊥平面ADE
七、利用法向量求线面夹角、面面夹角
要求斜线与平面所成的角，可先求斜线与该平面的法向量所成的角，再利用关系“斜线与平面所成的角和斜线与该平面的法向量所成角（锐角）互余或和斜线与该平面的法向量所成的角（钝角）的补角互余”求出斜线与平面所成的角；求平面与平面所成的二面角，即求两平面的法向量所夹的角（它与面面夹角相等或互补）。
例7：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中的棱长为2。
⑴求直线AD与平面A1BC1所成的角。
⑵求平面A1B1C1D1与平面A1BC1所成的二面角（锐角）的大小。
解：⑴如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz，D（0，0，0）、A（2，0，0）、A1（2，0，2）、D1（0，0，2）、B（2，2，0）、C1（0，2，2），所以=（0，2，-2），=（-2，0，2），=（-2，0，0）。
设＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2）分别是平面ABC1和平面A1B1C1D1的法向量，则，
∴ ∴
取z=1，则＝（1，1，1）
同理可得：＝（0，0，1）
设直线AD与平面A1BC1所成的角为，则：
＝＝＝＝
∴＝
⑵＝＝＝
∴＝
即平面A1B1C1D1与平面A1BC1所成的二面角为。
法向量引入后可以降低题目对空间想象能力的要求，简化解题思路与解题运算，将复杂的几何问题转化为代数运算。在高三的复习中通过复习传统的方法和法向量的应用这两种方法的对比给学生创设了合理的情景，激发了求知欲和思维的积极性，有利于提高学生的学习积极性和创新能力。
一、利用法向量求线面所成角
利用法向量求线面角主要适用于图形比较规则，容易建立空间直角坐标系或容易选择空间向量的基底(要求作为基底的三个向量的模及夹角已知)的题目。需要注意的是：当法向量与坐标平面平行或垂直时，可以直接给出法向量；当法向量与坐标平面不平行也不垂直时，由于法向量不唯一，不妨设横坐标、纵坐标、竖坐标中的某一个坐标为1，而且尽量让1以外的坐标在点乘中与0相乘，这样计算量较小。
按照定义，我们只需在一个平面内找出两不共线向量，利用垂直向量的数量积等于零易求出一个平面的法向量。由于向量的方向性，我们求出来的法向量与斜线的方向向量所成的角是线面所成角的余角（或补角）是线面所成角的余角，并且角的大小只与法向量的方向有关，与其模无关。
设为平面的斜线的方向向量，为平面的法向量，则斜线与平面所成角的正弦值。
例1：如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为．求AC1与侧面ABB1A所成的角。
解：＝（，，）
∵平面AB1的法向量＝（0，1，0），且＝＝
∴＝600，从而AC1与侧面ABB1A1所成的角为300
评：利用法向量将求斜线与平面所成的角转化为求两向量的夹角或其补角（如此例中令＝（0，-1，0）的余角是此法的巧妙之处。
二、利用法向量求解面面所成角
面面所成的角即二面角一直是高中立体几何的重点和难点，在历年的高考中也不乏其身影。传统的方法在解这种题型的时候需要利用二面角的平面角的定义寻找平面角，有时难度较大，而引入法向量之后，一切便可迎刃而解。
已知两平面α∩β＝l，，，垂足分别是A，B，过作，交于，连，易证，A，E，B，P四点共面就是二面角的平面角，又A，E，B，P四点共圆，则与互补。因为向量是有方向的，如果以，为法向量求出来的角与二面角互补，而以，为法向量求出来的角与二面角相等。那么，如果预先能判断二面角是锐二面角或是钝二面角，在解题过程中无论以何种方向作为法向量，只需求出法向量夹角的绝对值再根据需要来选取我们要的值即可。
易知：如果在二面角的一个半平面内存在一个不在交线上的点在另一个半平面内的射影位置，如果在另一个半平面内则二面角为锐二面角，如果在另一个半平面外则为钝二面角，如果在交线上则为直二面角。
例2：如图所示，分别是正方体的棱上的点，若，D1P：PD＝1：2，且平面，求二面角的大小。
解：如图建立坐标系，点M，点M在面上的射影是点B，则二面角为锐二面角。又面，，则即为平面的法向量，为平面的法向量。，，则＝＝，又二面角为锐二面角，所以二面角的大小为。
此题如果用传统解法来求平面角的话，对空间想象能力的要求非常高，而且对运算能力的要求也不低，而应用法向量就好比提出了一个固定的程序来解决比较抽象多变的问题，以不变应万变。
三、利用法向量求空间点到平面的距离
空间点到平面的距离大多出现在求锥体体积的题型之中，在传统的解法里我们通常采用等积变形来进行求解，但是有时候很难找出体积相等的两个几何体来，这时候就要应用到法向量来进行求解。设为面外一点，在内的射影为，则为点到面的距离，设，则，又，设的方向向量为，即为的法向量，则＝＝。
例3：已知正四棱锥R-ABCD的底面边长为4，高为6，点P是高的中点，点Q是侧面RBC的重心．求：点Q到面RBC的距离。
解：过点P作PH⊥面RBC于H，设向量是面RBC的法向量
∴
∵
∴
令z=1，则＝（0，3，1），连接PE
∵＝（0，2，-3） ∴
∴＝
∴＝＝
∴点P到面RBC的距离为
评：求点面距离的难点是确定垂足，此法妙就妙在不要确定垂足的确切位置也可将距离求出，真正做到了避繁就简，提高了解题正确率，简化了运算，并且使学习者从复杂的空间想像中解脱出来。
四、求空间异面直线的距离
此法可解决空间中有关距离的一类题，如两异面直线的距离。如右图，两异面直线，将平移至，两有向线段交于点，则构成了一个平面，则只需求的距离。这和上述求空间点到平面的距离类似。
例4：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，求A1B与B1C之间的距离。
解：＝（0，2，-2），＝（-2，0，-2），＝（0，2，0）
设，且，
∴
∴
令x＝1，则＝（1，-1，-1）
设A1B与D1C1间的距离为d，则：
d＝＝＝＝
五、利用法向量证明线面平行，面面平行
证明直线与平面平行，可转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明平面与平面平行，可转化为证明这两个平面的法向量平行。
例5：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2。求证：
⑴FC1//平面ADE
⑵平面ADE//平面B1C1F
证明：如图1所示建立空间直角坐标系D-xyz，则有D（0，0，0）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、C1（0，2，2）、E（2，2，1）、F（0，0，1），所以＝（0，2，1），＝（2，0，0），＝（0，2，1）
设＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2）分别是平面ADE、平面B1C1F的法向量，则，
∴∴
取y=1，则＝（0，1，-2），同理可求＝（0，1，-2）
⑴∵＝（0，1，-2）·（0，2，1）＝0
∴，又FC1平面ADE∴FC1∥平面ADE
⑵∵∥∴平面ADE∥平面B1C1F
六、利用法向量证明线面垂直，面面垂直
例6：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BB1的中点，F是CD的中点。
求证：⑴D1F⊥平面ADE
⑵平面A1D1F⊥平面ADE
证明：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，令AA1=2，则D（0，0，0），D1（0，0，2），A（2，0，0），E（2，2，1），F（0，1，0），所以=（2，0，0），=（0，2，1），=（0，1，-2）
设＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2）分别是平面ADE、平面A1D1F的法向量。则，。
∴∴
取＝1，则＝（0，1，-2），同理可得：＝（0，2，1）
⑴∥∴D1F⊥平面ADE
⑵（0，1，-2）（0，2，1）=0 ∴
∴平面A1D1F⊥平面ADE
七、利用法向量求线面夹角、面面夹角
要求斜线与平面所成的角，可先求斜线与该平面的法向量所成的角，再利用关系“斜线与平面所成的角和斜线与该平面的法向量所成角（锐角）互余或和斜线与该平面的法向量所成的角（钝角）的补角互余”求出斜线与平面所成的角；求平面与平面所成的二面角，即求两平面的法向量所夹的角（它与面面夹角相等或互补）。
例7：已知正方体ABCD-A1B1C1D1中的棱长为2。
⑴求直线AD与平面A1BC1所成的角。
⑵求平面A1B1C1D1与平面A1BC1所成的二面角（锐角）的大小。
解：⑴如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz，D（0，0，0）、A（2，0，0）、A1（2，0，2）、D1（0，0，2）、B（2，2，0）、C1（0，2，2），所以=（0，2，-2），=（-2，0，2），=（-2，0，0）。
设＝（x1，y1，z1），＝（x2，y2，z2）分别是平面ABC1和平面A1B1C1D1的法向量，则，
∴ ∴
取z=1，则＝（1，1，1）
同理可得：＝（0，0，1）
设直线AD与平面A1BC1所成的角为，则：
＝＝＝＝
∴＝
⑵＝＝＝
∴＝
即平面A1B1C1D1与平面A1BC1所成的二面角为。
法向量引入后可以降低题目对空间想象能力的要求，简化解题思路与解题运算，将复杂的几何问题转化为代数运算。在高三的复习中通过复习传统的方法和法向量的应用这两种方法的对比给学生创设了合理的情景，激发了求知欲和思维的积极性，有利于提高学生的学习积极性和创新能力。