本文研究几类经典力学系统的数学建模和时滞后力学系统的稳定性理论。 在第一章，讨论了经典力学系统中拉格朗日方程的黎曼几何表示(黎曼流形上的牛顿力学)和力学系统拓扑图表示之间的关系，作为应用，讨论了机器人系统的拓扑图表示和动力学模型计算等，与已有的机器人动力学分析办法相比，基于黎曼几何和拓扑图表示方法的动力学分析更加简便，更加适合机器人动力学机械化(自动)建模。 在第二章，讨论弹性倒立摆的数学建模问题。倒立摆模型是控制理论和工程中重要的研究和实验对象，已有的研究主要针对刚性的集中参数模型(用常微分方程描述)，完全刚性的集中参数模型是实际模型的近似处理，实际复杂工程中需要考虑系统的弹性来分析系统动力学性能和设计高精度控制器，本章考虑一种新型的倒立摆模型—弹性倒立摆，该模型中考虑了弹性的影响，可以描述为分布参数模型(用偏微分方程描述)，根据Hamilton原理和变分法推导数学模型，该模型是偏微分方程和常微分方程的耦合形式，相对刚性倒立摆而言，弹性倒立摆系统模型具有无限多自由度，系统分析和控制要复杂得多。 在第三章，讨论了具有状态时间滞后的动力系统的鲁棒稳定性问题，给出了时滞系统鲁棒稳定性的一个代数判据。