函数空间上的算子理论的核心问题是用算子符号的分析，几何等性质去描述算子的性质，由此搭建了复分析与算子理论之间的桥梁，是泛函分析中的活跃领域.由于Toeplitz算子，Hankel算子在控制论，信息学，概率论及其它数学领域有广泛应用，因此有重要的实际应用与理论价值.本文主要研究Dirichlet空间上的Toeplitz算子和对偶Toeplitz算子的交换性，紧性和乘积问题，　　第一章，介绍了函数空间算子与之相关的基本概念以及Toeplitz算子和对偶Toeplitz算子的乘积问题，紧性和交换性的发展现状与历史.　　第二章，利用Sobolev空间分解和拟齐次分解，研究了调和Dirichlet空间的直交补空间上两个对偶Toeplitz算子乘积的交换性和半交换性，并给出符号满足的充分必要条件.　　第三章，利用Riesz函数的性质，给出了加权Dirichlet空间上的紧Toeplitz算子的充分必要条件.　　第四章，通过建立单位球Dirichlet空间上多重调和函数为符号的Toeplitz算子和单位球Hardy空间上多重调和函数为符号的Toeplitz算子的联系，利用已知的单位球Hardy空间上的Toeplitz算子的代数性质，描述了单位球Dirichlet空间上多重调和函数为符号Toeplitz算子的有限乘积有限和何时为有限秩算子，进而解决了两个Toeplitz算子交换性问题和乘积问题.　　第五章，对于单位球上的解析函数f1,…，fN和g1,…，gN，通过刻画f1(g)1+…+fN(g)N何时是多重调和函数问题，给出了单位球上的多重调和Dirichlet直交补空间上两个以多重调和函数为符号的对偶Toeplitz算子的交换性和半交换性的充分必要条件.