工程中的问题可以分为位势问题和结构问题两类，实际中的许多问题均可转化为椭圆型微分方程边值问题。本文主要讨论了位势问题，运用边界元法求解位势问题简单而有效，但在计算时会遇到奇异积分，若运用虚边界元法就可以避免这个弱点，具体做法是：在所研究的区域之外的延拓区域中设置一个虚拟边界，由原边界条件确定出在虚边界上分布的场源函数，来计算原区域上的解，由于场点和源点位于不同的边界上，这样避免了边界元法中关于奇异积分的计算。论文主要讨论了Laplace方程、Helmholtz方程以及Poisson方程边值问题，通过运用虚边界元方法将边界积分方程转化为基于单层位势的虚边界积分方程，然后利用最小二乘法和配点法计算虚边界积分方程，在具体求解过程中也结合了其它相关知识，并给出相应的数值算例验证了方法的可行性和有效性。论文首先概述了边界元法和虚边界元法的研究进展和现状，并说明了课题的来源和意义，接下来介绍了论文所涉及到的一些理论基础。其次以典型的椭圆型方程Laplace方程为研究对象，结合传统的位势理论给出含有场源函数的虚边界积分方程，然后用最小二乘法和常单元计算求解。接着讨论了有广泛应用背景的Helmholtz方程，给出了其虚边界元数值解法，求解过程中运用级数展开近似表示Helmholtz方程的基本解，边界离散过程中采用常单元插值形式。然后对Poisson方程进行研究讨论，通过基于单层位势的虚边界元法和径向基函数相结合的方法对其求解。最后通过几个数值算例验证了方法的可行性和有效性。