函数空间上的算子理论作为现代数学的重要分支，它与量子力学，微分几何，线性系统和控制理论，甚至数论等学科都有着出入意料的联系和相互渗透，已经越来越受到人们的重视，现在已经形成了一整套系统的理论体系[1，2，3]。 复合算子的产生是函数论与算子理论相结合的产物，是利用经典函数论中的结论和方法探讨线性算子理论中的一些最基本的问题，同时也利用算子理论作为工具研究函数空间的经典问题．设F是定义在复平面C中单位圆盘D上的解析函数空间，如果 是D的解析自映射，则通过函数复合，线性算子则称 是由 导出的F上的复合算子．函数的复合是函数空间的一种基本运算，在数学的各分支上均有重要应用，如L<,p>空间上的复合算子与遍历理论密切相关；在乘法算子和更一般算子的交换子研究中也涉及复合算子。 上个世纪末，一些有关复合算子的专著相继出版(如[4]、[5]和[6])，对复合算子的研究越来越受到关注．对于复合算子的研究人们主要从算子以下方面进行：紧性，收敛性，有界性，范数，谱性质，不变子空间，Schatten类，循环性，代数陛质(正规性等)，加权复合算子及复合算子产生的C<*>-代数等．同时人们还推广到不同的函数空间，如Bergman空间，Dirichlet空间，Besove空间，Orlicz空间，Hardy-Orlicz空间等角度去刻画各类复合算子的性质．显然，不同的函数空间复合算子的性质也不尽相同，有关复合算子理论还有相当多的问题亟待解决。 本文第二章主要研究高维Dirichlet空间上超循环复合算子问题．众所周知，如果是单位圆盘的自同构，且在圆盘内没有不动点，那么C是超循环的．而单变量的Dirichlet空间上不存在超循环复合算子，我们运用超循环准则证明了在高维Dirichlet空间上，仍然有超循环复合算子存在。 本文第三章主要讨论复平面内单位圆上的加标准权Bergman-orlicz空间的性质，包含关系，其上复合算子的相关性质，同时证明了对于任意的解析自映射 都不是超循环算子． 在高维函数空间上，许多重要问题往往与算子矩阵或算子组有关．例如，在此情形下，研究指标问题的合适对象是算子矩阵或算子组，又如高维皇冠问题可以转变成相应的算子联合谱问题．算子组理论产生于二十世纪70年代，人们在研究交换算子组及Banach代数(或C<*>-代数)中多个交换元情形时就定义了各种类型的联合谱，这些概念对于研究算子代数特别是交换算子代数的结构与性质起到了很大作用．然而，对于非交换C*-代数多个非交换元情形，情况要比交换代数时复杂很多，非交换代数上可能不存在乘法线性泛函，此时常用的方式是研究这些代数上的态或纯态。记A是有单位元的C*-代数，如f是A上的有界线性泛函，且‖f‖=f(e)=1，则称f为A上的态．记 s(A)=｛f∈∈A*｜F是A上的态。｝S(A)的端点则称为A的一个纯态．本文第四章主要在非交换C*-代数情形下，研究了其谱和纯态值域，得到了C*-代数张量积中两个元的本质纯态值域的表示。 Hilbert空间上交换算子组的张量积早已为人们所研究，特别是其联合谱的研究涉及到偏微分方程的有关理论．Banach空间情形，相关问题要复杂许多[7]。交换算子组的联合谱与算子方程有一定联系，有时，初等算子的谱可用联合谱来表示([8])。早在1978年，F.H.Vasilescu就研究了交换算子张量积的联合谱，他证明了Sp(T 1，1 S)=Sp(T)×Sp(S)，其中T,S分别是Hilbert空间H,K上的交换算子组，Sp(T,A)={λ∈C<;n>｜T-λ是不可逆组｝是T相对于A的Taylor联合谱．V.Wrobel[9]曾经研究过Banach空间上算子张量积的联合谱，他证明了 于1992年曾研究过含单位元交换BANACH代数的代数型联合谱、由该代数的理想导出的代数型联合本质谱及其在函数代数上的应用等相关问题。