随着计算机科学的迅速发展和现代大型高速计算机的出现，数值分析和科学计算日益在工程问题中扮演着越来越重要的角色。而非线性偏微分方程作为微分方程的一个重要分支，在流体力学、电磁场、材料力学等领域都有广泛的应用，其数值解法包括它的理论数学基础及其在计算机上的实现，长期以来吸引着物理学家、数学家和工程师们的研究。在流体力学中，所建立的控制方程一般是非线性的，用数值法或解析法求解是很困难的。Navier-Stokes方程是从复杂的流体运行中简化出来的一个重要的数学物理模型，作为一个典型的非线性偏微分方程组，它能够刻画流体的运动规律，如透平机械内部流动、大气运动、海洋流动、轴承润滑等。通过对这个模型的深入研究，可以帮助我们认识和控制相关物理现象，但是很难得到它的解析解甚至是数值解。因此对Navier-Stokes方程的数值解法的研究还是具有非常重要的现实意义的。　　本文主要研究由Navier-Stokes方程而引起的边界形状控制问题和三维旋转Navier-Stokes方程有限元维数分裂方法。一方面，从应用数学角度来看，边界形状控制问题的核心是研究Navier-Stokes方程解的全局性质与边界几何形状相互联系。飞行器外形严重地影响气动性能，为了求解最优的叶片几何形状，目标泛函的设计是关键之一。目标泛函包含曲面上的积分，不但积分区域依赖于曲面形状，而且被积表达式是流动速度、压力以及它们关于法线的方向导数的函数，它受边界形状变化的影响。另一方面，如果采用传统的有限元方法直接求解三维问题，这时在边界附近网格将受到极大的限制，元素扭曲非常严重，将导致计算失败。而在本文中提出的有限元维数分裂方法能够克服上述困难，特别是对于具有高度扭曲的边界。　　本文在参阅大量国内外有关计算流体力学、偏微分方程、微分几何、计算数学等相关资料的基础上，对涡轮机流体的边界形状控制和维数分裂方法进行研究。首先介绍了本文需要用到的数学背景知识，然后详细叙述有限元数值计算解题过程和不可压缩Navier-Stokes方程的几种数值解法。接着讨论了Navier-Stokes方程边界形状控制问题和有限元维数分裂方法，并将此方法应用于三维问题。最后给出一个数值计算实例，并对计算结果进行分析，以图形的形式进行展示。