一般线性随机比例方程几种数值方法的研究

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随机比例微分方程(SPEs)是确定性比例微分方程加之随机噪声因素得到的。当使用定步长的数值方法计算全局数值解时,所需的延迟区间内的数值解数量随着时间的增加趋于无穷,这使得我们遇到计算机的存储困难。  在本文中,我们受确定性比例方程处理方式的启发,首先考虑利用等价变换的方法,将随机比例延迟微分方程等价变型成随机常延迟微分方程,进而再对等价变型后的方程建立四种不同的定步长的数值方法。我们讨论了前三种数值方法的稳定性以及收敛性,并对最后一种数值方法的稳定性进行了深入分析。在讨论稳定性的过程中,我们将数值方法写成矩阵的形式,参考确定性方程已有结论将稳定性问题转化成矩阵极限求解问题。  我们对变型后的等价方程采用显式Euler方法以及隐式Euler方法,并计算出两种数值方法的收敛阶为0.5阶。我们证明了显式Euler方法是不稳定的,并给出了隐式Euler方法数值解均方稳定的充分条件。接下来,我们对变型后的方程建立了更泛化的线性θ法,证明了其收敛阶为0.5阶,并用矩阵分析的方法论证了该方法均方稳定的充分必要条件。最后我们对等价变型后的方程建立分裂步向后欧拉方法,并证明这种方法均方稳定的充分条件。  最终数值实验的结果也再次论证全部结论的可靠性。
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