本文研究内容涉及到数值计算方法中的几个方面,主要侧重研究基于紧致差分格式的数值梯度方案在部分偏微分方程中的应用,同时也对外推方案在涉及时间项的偏微分方程上的应用进行了研究。　　本文中所探讨的数值梯度方案实质上是配置多项式方案和埃尔米特插值方案的结合使用,以便求得相邻网格点中间点处的方程解的表达式。而这个表达式要涉及到网格点处方程数值解和方程解函数的偏导数数值解的表达式。本文的创新点是,在基本不改变求解所用时间的情形下,使网格点的个数增加一倍,以提高空间精度。而理查森外推方案主要用在含有时间项的偏微分方程上,以提高时间误差精度。　　本文的主要研究工作和创新体现在以下几个方面:其中之一是数值梯度方案。数值梯度方案是基于埃尔米特插值和配置多项式插值的。孙志忠曾研究了一种高阶紧致差分格式,大大提高了偏微分方程数值解的误差精度。本文所要讨论的方案就是建立在该紧致差分格式之上,既延续该方案的优点,又弥补它所存在的问题。首先,通过该紧致差分方案求得网格点处的方程数值解、误差及其误差精度;然后,利用配置多项式插值方案求得网格点处的偏导数;其次,再通过埃尔米特插值方案求得相邻网格点所在中间点处的方程数值解。这样做不仅增加了有效网格点的个数,而且求解中间点处,解的过程所用的时间非常少,远远小于将网格点增加所用时间。另一个方面是Richardson外推方案。 Richardson外推主要功能是加速数列的收敛,本文将其运用到方程的数值解逼近,从而提高误差精度。