在逼近论的发展过程中，对逼近工具和逼近误差的研究一直是逼近论研究的重要课题，而逼近误差的估计与逼近工具的选择实质上是通过不等式来实现的．逼近论正定理，即Jackson不等式较好地刻划了逼近工具的逼近程度，即通过Jackson不等式我们可以知道逼近工具的可达到的逼近精度．而逼近论逆定理，即Steckin不等式主要建立了逼近误差精度与被逼近函数结构之间的关系，即通过Steckin不等式可以指导我们合理选择逼近工具并使其误差精度达到某种条件．多项式作为重要的逼近工具，在逼近论的发展中一直起着非常重要的作用．而相关多项式不等式则是研究多项式逼近的核心内容．随着多项式不等式的发展，对不等式的研究大致分为四个方向：第一个方向是在不等式结果不变的情况下放宽不等式成立的条件，比如由Markov不等式到Newman不等式的推广．第二个方向是给予不等式某些特定的性质从而使得不等式结果得到改进，例如将代数多项式的系数限制在{-1，o，1}上，Markov不等式的阶便可以从n2降到n log n．第三个方向是给予不等式某些特定的权，比如Doubling权，指数权等以增强不等式的应用价值．第四个方向是维数的增加，将原先在一维上成立的某些不等式推广到二维、三维乃至n维．本文对不等式的研究主要基于上述思路．　　Bernstein不等式在逼近论逆定理以及嵌入定理的证明过程中起着关键的作用．针对这一特性，本文第二章构造了一类广泛的函数系(记为F)，在F中研究Bernstein型不等式与Steckin型不等式的关系，以及Bernstein型不等式与Nikolskii型不等式的关系．把原先只适用于一些特殊的函数空间比如三角多项式、代数多项式空间的结果推广到广泛的函数系．　　多元函数逼近是当今逼近论研究的主要方向之一，也是逼近论研究的难点之一，其主要原因在于多元区域点的方向的无穷性和边界的复杂性以及多元函数展开方向的不确定性导致作为逼近度量工具的连续模其定义的多样性．而现实中的许多实际高维问题近切需要多元逼近这一用力工具来解决．例如小波分析、神经网络理论研究等领域正需要这一工具．本文第三章第一节主要研究多维Muntz多项式空间的某些性质，建立了多维Muntz多项式空间的Bernstein型不等式，并由此得到Muntz多项空间的逼近逆定理．在第三章第二节中我们主要研究多维加权Bernstein型不等式与Nikolskii型不等式、Nikolskii型不等式与ULyanov型不等式之间的关系．并由此建立了多元代数多项式、三角多项式、Muntz多项式空间等函数空间的Nikolskii型不等式．　　自Mastroianni与Totik在上世纪末本世纪初引入Doubling权函数后，对Doubling权函数的研究逐渐成为加权多项式逼近的一个重要课题，其主要原因在于Doubling权函数范围的广泛性，它包含了诸多的重要权函数，例如著名的广义Jacobi权以及在调和分析中起重要作用的A∞权、Ap权．本文第四章主要讨论带Doubling权的Nikolskii型不等式．　　Markov不等式是代数多项式的一个重要性质，如何改进Markov不等式是进一步研究代数多项式逼近性能的关键所在．对代数多项式的系数给予某些限制，Markov不等式的阶可以得到改进，本文第五章将代数多项式的系数限制在某个整数集上，从而得到了Markov不等式的一种改进．　　球面逼近是近年来逼近论研究的热点之一，主要原因在于球面逼近具有很强的实用背景．因为地球表面本身就是一个球面，所以许多自然现象均可通过建立球面模型来解释．球面函数空间的最大特点在于其上的一个函数空间的正交基可通过著名的加法定理用一个特殊的多项式即Legendre多项式表示．局部化是研究球面逼近的一个重要手段，这是由于很多球面逼近问题实际上只需要考虑球面某一局部，即在一个球面帽上研究问题，诸如研究脑外科手术，预测台风、地震等自然现象等．本文第六章建立了球面帽上的Jackson型不等式，并得到Jackson不等式在球面神经网络构造与逼近中的一个具体应用.