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本文主要讨论的是四次Z-5旋转不变和六次Z-7旋转不变哈密尔顿向量场的相图，还研究了三次平面哈密尔顿向量场在扰动下的极限环的个数问题。本文主要应用微分方程定性理论及分支的方法，分析以上哈密尔顿向量场有限远奇点及无穷远奇点与参数的关系，并根据向量场等变性给出了在参数空间里所有可能的相图，最后用Maple软件画出了四次Z-5旋转不变和六次Z-7旋转不变哈密尔顿向量场的相图。同时我们也运用微分方程定性理论及分支定理，证明扰动下的一类平面三次多项式向量场至少有11或12个极限环。 本文的创新之处:1.给出四次Z-5旋转不变哈密尔顿向量场的相图完整分类以及六次Z-7旋转不变哈密尔顿向量场的相图分类;2.给出平面三次多项式向量场具有12个极限环的新的分布。