随着科学技术的不断发展,在物理学、化学、数学、生物学、医学、经济学、工程学、控制论等科学领域出现了各种各样的非线性问题,这些非线性问题日益引起了人们的广泛重视.非线性泛函分析是非线性分析中的一个重要分支,因其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现象受到了国内外数学界和自然科学界的重视.非线性微分方程边值问题源于应用数学、物理学、控制论等各种应用学科中,是目前非线性泛函分析中研究最为活跃的领域之一.其中的三阶非线性微分方程边值问题越来越受到人们的关注.同时,同胚同态问题是近年来讨论的热点,是目前微分方程研究中的一个十分重要的领域.本文利用锥理论、不动点理论、不动点指数理论,研究了几类非线性微分方程边值问题的正解.本文共分为三章：在第一章中,我们讨论了非线性奇异三阶三点边值问题正解的存在性,其中λ是一个正参数,0<η<1并且1<α<1/η,a：（0,1）→[0,∞)是连续的,F：[0,1]×[0,∞)→[0,∞)是连续的,a（t）允许在t=0和t=1处奇异.通过计算锥中的不动点指数,我们得到上述边值问题存在一个λ>0,使得上述边值问题在λ=λ,A∈（0,λ）,λ>λ这三种情况时分别至少有一个正解,至少有两个正解和没有正解.本章首次考虑该三阶三点边值问题有关参数的问题,增加了a（t）的奇异性,故推广了文[12,13]中的主要结果（见第5页注1.2.1,第9页注1.3.1）.在第二章中,我们研究了非线性奇异三阶三点边值问题正解的存在性,这里λ>0是一个正参数,η∈[1/2,1)是一个常数,并且允许a（t）在t=0和t=1处奇异,非线性项F（t,x）在x=0处奇异.通过计算不动点指数,在关于相应线性算子第一特征值的条件下,我们得到了该边值问题一个正解和多重正解的存在性结论.本章在F奇异性之下得到该问题的正解,改进和推广了文[30]的主要结果（见第11页注2.2.1,第16页注2.2.2,第26页注2.3.1）.在第三章中,我们考虑了如下的二阶脉冲m点边值问题正解的存在性,其中φ：R→R是一个增同胚和正同态并且φ（0）=0.通过应用不动点指数定理,我们得到了上述问题两个正解的存在性结论.对于含有增同胚和正同态的边值问题的结果并不多见,在含有脉冲项的情况下我们得到了正解的存在性结果（见第34页注3.3.1）.