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本文着重考虑四个方面的问题。首先本文讨论仿射曲面，归纳R4中具有Klingenberg-横截平面的仿射正定脐曲面。接着，研究局部对称半定空间中具有平行中曲率向量和平坦法丛并且满足一定的曲率条件的完备类空子流形，给出关于该子流形第二基本形式模平方的拉普拉斯的一个优化估计并且得到该流形为全脐子流形的一个充分条件。第三章着重考察球的紧致超曲面上的谱，改进了文章[32]的结果。最后，本文研究黎曼流形和它的配有标准切触度量结构的单位切球丛之间的关系并且发现黎曼流形Mn+1(n≥2)不存在具有常截曲率的单位切球丛，但得到一个单位切球丛的底流形具有常截曲率的充分必要条件。此外，本文在第四章还得到了关于这方面问题的其它一些结果。