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Erd(o)s和Moser的一个开放性的猜想为:丢番图方程1n+2n+…+kn=（k+1）n的唯一解是一个平凡解:k=2，n=1. 首先，本文在3+k的条件下，证明了Jonathan Sondow和Kieren MacMillan提出的一个猜想: 如果1n+2n+…+kn≡（k+1）n(mod k2)，则对任意的素数p|k，有1n+2n+…+ kn≡k/p(1n+2n+…+pn)(modp3); 其次对高阶同余方程1n+2n+…+ kn≡(k+1)n(modk3)的解给出了一些结论并作证明: 当n=1时，高阶同余式1n+2n+…+kn≡（k+1）n(mod k3)成立当且仅当k=1或2; 当n=2时，高阶同余式1n+2n+…+kn≡（k+1）n(modk3)成立当且仅当k=1; 当n≥3且为奇数时，1n+2n+…+kn≡（k+1）n(mod k3)成立当且仅当k=1; 最后，当n≥4且为偶数时，1n+2n+…+kn≡（k+1）n(mod k3)(2+k且3+k)成立，则对任意的素数p|k，有 (i)n≡O(mod(p-1))， (ii)k/p+1≡nk(2p-n-2)/(p-1)2Bp-1+nk(n-p+1)/2(p-1)2B2p-2+k-nk-n(n-1)/2k2+nk(n-3p+3)/2p(p-1)(modp3) 整篇文章的证明用到了方幂和的可除性，Lerch的关于Fermat商及Wilson商的关系，Bernoulli数和Bernoulli多项式的一些性质.