论文部分内容阅读
本文综合运用变分方法，临界点理论和隐函数理论等多种非线性分析方法研究了二阶Hamilton系统的周期解和椭圆共振边值问题，获得了一系列新的可解性条件和多重性结果.可解性条件包括次可加条件；次凸条件；局部强制条件；一类新的Landesman-Lazer型条件和次线性条件.主要结果包括如下所述.
首先考虑二阶Hamilton系统ü(t)=▽F(t，u(t))a.e.t∈[0，T]u(0)-u(T)=u(0)-u(T)=0(HS)其中，T≥0，F：[0，T]×RN→R满足条件(A)F(t，x)对每个x∈Rv关于t是可测的，对a.e.t∈[0，T]关于x是连续可微的，且存在a∈C(R+，R+)，b∈L1(0，T；R+)使得｜F(t，x)｜≤a(｜x｜)b(t)，｜▽F(t，x)｜≤a(｜x｜)b(t)对所有x∈RN和a.e.t∈[0，T]成立.
设α∈[0，1)，当▽F是α-次线性的，即，存在f，g∈L1(0，T；R+)使得｜▽F(t，x)｜≤f(t)｜x｜α+g(t)对所有x∈RN及a.e.t∈[0，T]成立时，若条件(A)成立且|x|-2α∫T0F(t，x)dt→+∞(或-∞)，当|x|→∞，则问题(HS)至少有一个解.
设F(t，x)是局部强制的，即，存在g0∈L1(0，T)和[0，T]的满足meas(E)＞0的子集E使得F(t，x)≥90(t)
对所有x∈RN和a.e.t∈[0，T]成立，且当|x|→∞时，F(t，x)对a.e.t∈E趋于+∞，若条件(A)成立，则问题(HS)至少有一个解.设F满足条件(A)且当|x|→∞时∫T0F(t，x)dt→+∞.
若存在γ≥1使得F(t，x)对a.e.t∈[0，T]关于x都是γ-次可加函数，即，F(t，x+y)≤γ(F(t，x)+F(t，y))，()x，y∈RN.
则问题(HS)至少有一个解.再考虑半线性椭圆方程的Dirichlet边值问题-△u=λku+g(x，u)()x∈Ωu=0()x∈aΩ(D)
其中Ω()RN(N≥1)是有界光滑区域，λk是特征值问题-△u=λu()x∈Ω,u=0()x∈aΩ的第k个不同的特征值，g：-Ω×R→R是Carathéodory函数.设gM(x)△=sup{｜g(x，t)｜｜t|≤M}∈Lq(Ω)对所有M＞0和某q≥1满足1/q+1/p=1，且当N≥3时，2＜p＜2N/N-2，当N=1，2时，2＜p＜+∞成立.若存在r∈]1，2[，a∈L1(Ω)满足a(x)≥0对a.e.x∈Ω和∫Ωa(x)dx＞0，及b∈Lp(Ω)使得a(x)≤liminf|t|→∞g(x,t)t/|t|r≤limsup|t|→∞g(x,t)t/|t|r≤b(x)对a.e.x∈Ω一致地成立，其中1/p+r/p=1，则问题(D)在空间H01(Ω)中至少有一个解.
假定g∈C(R，R)使得0≤liminf|t|→∞g(t)/t≤limsup|t|→∞g(t)/t＜3
设h∈L1(0，π)满足F(-∞)∫π0sinxdx＜∫π0h(x)sinxdx＜E(+∞)∫π0sinxdx其中F(-∞)=limsupF(t),t→-∞F(t)，F-(+∞)=liminfF(t)和F(t)={2/t∫t0g(s)ds-g(t)t≠0g(0)t≠0则问题-u"=u+g(u)-h(x)，u(0)=u(π)=0在H01(0，π)中至少有一个解.
最后我们考虑Neumann边值问题-△u=f(x，u)+εh(x)在Ω内，au/an=0在aΩ上，(N)其中，Ω()RN(N≥1)是具有光滑边界和单位外法向量n(x)的有界区域，au/an=n(x).▽u.假定f：-Ω×R→R，f(x，t)对每个t∈R关于x是可测的，对a.e.x∈Ω关于t是连续可微的，且存在常数C1＞0和2＜p＜2*使得lft(x，t)||≤C1(|t|p-2+1)对所有t∈R和a.e.x∈Ω成立，其中fx(x，t)=af/at.设存在δ＞0和a，b∈L∞(Ω)使得a(x)≥μm，b(x)≤μm+1对a.e.x∈Ω，meas{x∈Ω｜a(x)＞μm}＞0，meas{x∈Ω|b(x)＜μm+1}＞0，a(x)≤f(x,t)/t≤b(x)对所有0＜|t|≤δ和a.e.x∈Ω成立，其中μk是特征值问题-△u=μu，()x∈Ω，au=0，()x∈aΩ的第k个不同的特征值，且h∈L2(Ω)满足-h≡(measΩ)-1∫Ωh(x)dx=0.若当|t|→∞时，F(x，t)→-∞
对a.e.x∈Ω一致地成立，则对充分小的ε，问题(N)在H1(Ω)中至少有三个不同的解.