【摘 要】
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本文利用动力系统方法和奇行波方程理论,研究了几类具有物理意义的非线性波方程的精确行波解.这些方程包括广义二分量peakon型对偶方程、旋转Camassa-Holm方程、一类非局域流体动力学方程以及分数阶mKdV方程.本文详细分析了这些非线性波方程对应的行波系统的动力学性质,以及其随参数而改变的分支行为,并借助椭圆函数等工具,通过复杂计算获得了丰富的精确行波解.本文共分七章,具体安排如下:第一章绪论
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本文利用动力系统方法和奇行波方程理论,研究了几类具有物理意义的非线性波方程的精确行波解.这些方程包括广义二分量peakon型对偶方程、旋转Camassa-Holm方程、一类非局域流体动力学方程以及分数阶mKdV方程.本文详细分析了这些非线性波方程对应的行波系统的动力学性质,以及其随参数而改变的分支行为,并借助椭圆函数等工具,通过复杂计算获得了丰富的精确行波解.本文共分七章,具体安排如下:第一章绪论,介绍了孤立子理论的发展历史,介绍了几种重要的非线性波方程的求解方法.阐明了本文的主要研究内容和研究成果.第二章介绍了与本文相关的一些基础知识,包括动力系统与微分方程,奇非线性波方程的动力系统方法.第三章研究了两个广义二分量peakon型对偶方程的分支和精确行波解,其中一个方程包含了著名的二分量Camassa-Holm方程.利用动力系统方法和奇行波方程理论,将两个方程约化为同一个平面动力系统.通过对奇异行波系统进行定性分析,画出它的相图分支,并得到了尽可能多的精确行波解,包括孤立波解、孤立尖波解、伪孤立尖波解、周期尖波解、破缺波解等.经过综合对比和分析,发现这些行波解的分布遵循一定的规律.第四章研究了旋转Camassa-Holm方程的分支和精确行波解.旋转Camassa-Holm方程包含了著名的Camassa-Holm方程,是广义Camassa-Holm方程的一个特例.利用动力系统方法和奇行波方程理论,研究了具有五个参数的参数空间中,在不同参数条件下的相图分支问题.得到了光滑孤立波解、周期波解、孤立尖波解、周期尖波解以及破缺波解及其精确表示.另外,从每组相图中都可以清楚地看到奇直线对相图的变化及分支的产生具有很大影响.第五章研究了一类非局域流体动力学方程的分支和精确行波解.通过动力系统方法和奇行波方程理论,获得了方程的各种精确行波解,包括光滑孤立波解、不可数无穷多孤立波解、伪孤立尖波解、周期尖波解、破缺波解、扭波和反扭波解等.其中不可数无穷多孤立波解、扭波和反扭波解是我们得到的新解.特别地,不可数无穷多孤立波解与一般光滑孤立波解不同.在高阶平衡点处出现的不可数无穷多同宿轨对应着不可数无穷多孤立波解,是一种非常奇特的现象.第六章研究了具有conformable分数阶导数的mKdV方程的分支和精确行波解.通过行波变换,将分数阶偏微分方程化为依赖于分数阶数α的常微分方程.然后利用动力系统方法分析相应行波系统的相图分支,得到了原系统的精确行波解,包括光滑孤立波解、周期波解、扭波与反扭波解.通过分析发现,分数阶mKdV方程的解具有一般mKdV方程解的基本形式,而且其波宽和波幅依赖于分数阶数α.第七章对本文所做工作进行总结,列出几个需进一步探讨的问题.
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