【摘 要】
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本博士学位论文主要研究Q1型有限体积元方法（FVEM）在任意凸四边形网格条件下关于各向异性扩散问题的强制性.首先,使用梯形求积公式逼近经典Q-FVEM双线性泛函中线积分,得到一个所谓的修正Q1-FVEM（mQ1-FVEM）,并进一步研究这个格式的强制性.基于单元刚度矩阵正定的充分必要条件,在任意凸四边形网格上,得到mQ1-FVEM强制性成立的一个充分条件.这个充分条件包含一些已有的标准网格,例如传
【基金项目】
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国家自然科学基金项目（批准号:11871009和11771052）；
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本博士学位论文主要研究Q1型有限体积元方法（FVEM）在任意凸四边形网格条件下关于各向异性扩散问题的强制性.首先,使用梯形求积公式逼近经典Q-FVEM双线性泛函中线积分,得到一个所谓的修正Q1-FVEM（mQ1-FVEM）,并进一步研究这个格式的强制性.基于单元刚度矩阵正定的充分必要条件,在任意凸四边形网格上,得到mQ1-FVEM强制性成立的一个充分条件.这个充分条件包含一些已有的标准网格,例如传统的h1+γ-平行四边形网格和一些梯形网格.更有趣的是这个条件有一个显式表达式并且根据这个表达式对任意扩散张量和任意网格尺寸h>0都很容易判断强制性是否成立,这在实际应用中相当具有吸引力.最后,在不需要传统的h1+γ-平行四边形网格假设条件下,严格证明了mQ1-FVEM格式的H1误差估计.因为在对偶网格的边界上Q1型有限元基函数的梯度一般是有理函数,这导致mQ1-FVEM和Q1-FVEM格式是不相同的,并且mQ1-FVEM格式强制性分析方法并不能直接推广到经典Q1-FVEM格式.因此,需要研究一种新的途径在任意凸四边形网格上研究Q1-FVEM强制性.根据单元双线性泛函（?）的表达式,通过一个技巧将原始的单元刚度矩阵转换成一个新的3 × 3单元矩阵.基于这个新单元矩阵正定的充要条件,得到了经典Q1-FVEM强制性成立的一个充分条件.本文发现这个允分条件包含传统的h1+γ-平行网边形条件.同样地,这个条件也有一个显式表达式并且根椐这个表达式对任意扩散张量和网格尺寸h>0都很容易判断强制性是否成立.最后,在不需要h1+γ-平行四边形网格条件下,经典Q1-FVEM的H1误差估计是平凡的.在凸四边形网格上关于各向异性扩散问题,使用一个特殊的求积公式逼近经典Q1-FVEM格式中的线积分,本文提出了一种新的Q1-FVEM格式（sQ1-FVEM）.在拟正则网格条件下且不需要网格尺寸充分小,严格证明了sQ1-FVEM格式的强制性,即sQ1-FVEM格式在拟正则网格条件下是无条件稳定的.基于sQ1-FVEM格式强制性结果,本文也提供了一种新的方式证明经典Q1-FVEM格式在正则网格条件下强制性成立.并且在正则网格条件下,本文严格证明了 sQ1-FVEM格式和经典Q1-FVEM格式的H1误差估计.关于sQ1-FVEM格式的L2误差估计,本文构造的一个反例表明通过Aubin-Nitschc技巧证明sQ1-FVEM格式的L2误差估计时额外的网格限制条件（例如h1+γ平行四边形网格）仍然需要.最后,考虑mQ1-FVEM格式的应用.使用mQ1-FVEM格式处理节点未知量,本文构造了各向异性扩散问题的一个稳定的九点格式（NPS-mQ1）并对其进行了理论分析.鉴于九点格式易编码,它已被广泛应用求解一些辐射流体动力学代码,例如LARED-I和MARED[22,69].当NPS-mQ1格式应用到此类问题时,仅需要增加mQ1-FVEM格式求解节点未知量的程序,这很容易实现.另外,基于mQ1-FVEM格式的理论结果和离散泛函分析[81,94],在弱几何条件下可以得到稳定性分析和H1误差估计.与已有的一些中心型和杂交型格式[51]相比较,本文提出的NPS-mQ1格式能克服所谓的数值热障问题.
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