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S1×S2是素的有本质二维球面的三维流形，是一种比较重要的三维流形。本题目主要讨论S1×S2的连通和的映射类群，它的群结构。通过这些研究我们可以更好的了解S1×S2及其连通和的拓扑。
S1×S2的映射类群为Z2⊕Z2是早就证出的一个结果。J.H.Rubinstein已经把闭的、不可约的包含Klein瓶并且基本群有限的这样一类三维流形它们的映射类群各是什么样子都已给出了证明。对于可约流形，DarrylMcCullough证明了这样一条定理：假设M是一紧致连通的可定向的三维流形，则M的任意保定向的自同胚均可由下面四种自同胚符合而成：保连通和同胚，S1×S2因子自旋，交换连通和同胚，滑动同胚。要对S1×S2＃S1×S2的映射类群给出一个结果，一个自然的想法就是先计算这四种自同胚的同痕类有几个，看看是否是子群，最后由DarrylMcCullough的定理给出S1×S2＃S1×S2的映射类群。本文就是先对这四种自同胚作进一步的研究，找出几何上比较简单的生成元，给出它们的关系及映射类群结构，最后给出前三种自同胚的映射类子群结构。