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在局部指标定理的热方程方法证明过程中，用到算子平方的具体表达式，它们的一个明显特点是都没有一次导数部分，这一特性在证明中起关键作用，发现“一次导数部分”与联络的选取有关。
首先，借助于联络将流形上的二阶椭圆微分算子L表示为L=-Δ0+bi()LEi+c，进而利用复张量法讨论一类限制二阶自伴椭圆微分算子，证明：如果二阶椭圆微分算子L是复向量丛E上二阶自伴限制椭圆算子，则复向量丛E上存在Hermitian联络ΔN使得算子L有Schrodinger表达式，即L是广义的Schrodinger算子。因此，证明了()+()＃：∧0,*(M)→∧0,*(M)的平方是广义的Schrodinger算子。
其次，在Spinc(2n)流形上，提升TM上一个非Levi-Civita联络的保度量联络()B(=()L+S(B)，S(B)是由奇形式B决定的1形式)到Spinc(2n)主丛Pspinc得到一个新的联络()E，用B修正Dirac算子Ds得变形算子Ds+L，并用联络()B给出扩展的Laplace-Beltrami算子ΔE0的渐近展开式，ΔE0=2n∑i=1()2/()yi3-1/64i,m,j,k,l,α,β=1RBjikl(0)Rbimαβ(0)yjymekekeleαeβ+(x＜2).采取热方程方法证明了Dirac算子Ds的局部指标定理：
Loc.ind(Ds)=(e1/2c1.A(RL/2π))(E1…，E2n).其中c1是Spinc(2n)结构中线丛的第一陈类。
最后，通过证明存在嵌入λ：U(n)→Spinc(2n)给出了近Hermitian流形和Spinc流形的关系：2n维近复流形是Spinc(2n)流形。