【摘 要】
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本文研究几类平面图的非正常染色（improper/defective/relaxed coloring）问题.1976年,Steinberg提出猜想,认为不含4-圈和5-圈的平面图是3-可染的.2017年,该猜想被证伪.另外一方面,根据四色定理,平面图是4-可染的,这表明不含4-圈和5-圈的平面图是在3-可染和4-可染“之间”.非正常染色的概念可以用来描述图形3-可染和4-可染“之间”的状态.非正
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本文研究几类平面图的非正常染色（improper/defective/relaxed coloring）问题.1976年,Steinberg提出猜想,认为不含4-圈和5-圈的平面图是3-可染的.2017年,该猜想被证伪.另外一方面,根据四色定理,平面图是4-可染的,这表明不含4-圈和5-圈的平面图是在3-可染和4-可染“之间”.非正常染色的概念可以用来描述图形3-可染和4-可染“之间”的状态.非正常染色是对图的正常染色的—种放松,它允许由相同颜色的点诱导的子图有边存在.具体地,我们称一个图是（d1,,dr）-可染的,如果该图的点集可以划分为r个子集V1,Vr,使得对每一个i∈{1,,r},由Vi诱导的子图的最大度为di.本文主要研究两类平面图:不含4-圈和5-圈的平面图和围长至少为5的平面图.其中,染色时允许使用2种颜色.对于不含4-圈和5-圈的平面图G,Sittitrai和 Nakprasit[Disctete Math.,341（2018）2142--2150]证明了 G 是（d1,d2）-可染的,其中（d1,d2）∈{（2,9）,（3,5）,（4,4）}.本文改进了他们的结果,证明了G是（d1,d2）-可染的,其中（d1,d2）∈ {（2,6）,（3,3）}.对于围长至少为5的平面图H,Choi[J.Graph Theory,84（4）（2017）521-535]等人证明了H是（1,10）-可染的,Borodin 和Kostochka[Discrete Math.,313（22）（2013）2638-2649]证明了H是（2,6）-可染的,Choi[Discrete Math.,342（12）（2019）111577]等人证明了H是（3,4）-可染的.本文改进了 Choi等人关于H是（1,10）-可染的结论,证明了H是（1,9）-可染的.本文呈现的关于两类平面图的非正常染色结论,均为目前的最佳结果,为这两类平面图的染色提供了新的更深入的洞察.
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