【摘 要】
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凸几何分析在众多领域中有着广泛的应用,如数理经济学、偏微分方程、概率论、计算机模式识别以及医学中的CT扫描、核磁共振.凸几何分析主要是运用几何和分析的方法研究几何体（主要是凸体和星体）的几何结构与不变量,Brunn-Minkowski理论为其核心内容.Minkowski问题在Brunn-Minkowski理论中有着举足轻重的地位,它是由凸体产生的几何测度的一个特征问题.Minkowski问题一贯是
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凸几何分析在众多领域中有着广泛的应用,如数理经济学、偏微分方程、概率论、计算机模式识别以及医学中的CT扫描、核磁共振.凸几何分析主要是运用几何和分析的方法研究几何体（主要是凸体和星体）的几何结构与不变量,Brunn-Minkowski理论为其核心内容.Minkowski问题在Brunn-Minkowski理论中有着举足轻重的地位,它是由凸体产生的几何测度的一个特征问题.Minkowski问题一贯是凸几何分析、积分几何、微分几何和偏微分方程中的焦点问题之一,它在偏微分方程中主要涉及解的存在性、唯一性、连续性以及正则性.本文主要利用Lp-Brunn-Minkowski理论的基本知识和方法,研究了q-torsional rigidity的Lp-Minkowski问题的唯一性.接下来我们将介绍本文的主要内容,包括如下几个部分:第一章我们首先介绍了本文的研究背景以及研究现状,主要是对Lp-Brunn-Mi-nkowski理论的背景及其相关理论的简介;其次,我们给出了本文的结构安排及主要结果;最后,我们给出了本文所涉及的符号说明.第二章我们首先介绍了凸几何分析中凸体的一些基本概念与基本事实,如:支撑函数,Minkowski加法,Lp-Minkowski线性组合;然后我们给出了q-torsional rigidi-ty的相关概念、与之对应的Lp-Minkowski问题和基本事实,如:q-torsional rigidity测度、Lp-torsional rigidity测度、q-torsional rigidity的Lp-Minkowski问题及其Minkowski不等式.第三章我们研究了q-torsional rigidity的Lp-Minkowski问题的唯一性.首先,我们给出了q-torsional rigidity的Lp线性组合意义下的Brunn-Minkowski不等式,并得到了等式成立的条件;然后,我们计算得到了凸体在光滑情形下q-torsional rigidity的Lp-Hadamard变分公式（一阶变分公式）,并由此推出了q-torsional rigidity的Lp-Minkowski不等式;最后,我们利用q-torsional rigidity的Lp-Minkowski不等式得到了q-torsional rigidity的Lp-Minkowski问题的唯一性.最后是全文的总结部分,对本文的研究成果以及创新点做出了总结.
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