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本文隶属于L_p-Brunn-Minkowski理论(又称为Brunn-Minkowski-Firey理论)领域，该领域是近10年来在国际上发展非常迅速的一个几何学分支。本文主要利用L_p-Brunn-Minkowski理论的基本概念、基本知识和积分变换方法，研究L_p-空间中凸体几何的理论、几何体的度量不等式和极值问题。一方面，我们对L_p-Brunn-Minkowski理论的基础理论进行了研究。另一方面，我们研究了L_p-Brunn-Minkowski理论领域诸多几何体：L_p-投影体、L_p-质心体、新几何体Γ__pK、L_p-John椭球、L_p-曲率映象以及由我们新引入的L_p-混合投影体的体积、均质积分、仿射表面积构成的度量不等式和极值问题。 在L_p-Brunn-Minkowski理论的基础理论研究方面，我们首次提出了L_p-混合均质积分的对偶概念-L_p-对偶混合均质积分，这个概念也将L_p-对偶混合体积和对偶均质积分的概念进行了推广。我们不仅研究了它的性质，给出了它的积分表达式和Minkowski不等式，而且利用这个新概念，我们建立了关于星体L_p-调和径向组合对偶均质积分的Brunn-Minkowski不等式，使之与关于凸体FireyL_p-组合均质积分的Brunn-Minkowski不等式相映成偶。同时，我们还加强了这两种Brunn-Minkowski不等式，分别给出了它们的隔离形式。著名的Blaschke-Santaló不等式的逆形式探讨，一直是经典Brunn-Minkowski理论领域的热点课题，我们通过对新几何体Γ__pK的单调性研究，意外地获得了这方面的一个结论。 在L_p-Brunn-Minkowski理论领域里关于几何体的度量不等式和极值问题研究方面，我们投入了更多的精力。关于L_p-投影体的研究，我们重点探讨了投影不等式Petty猜想的L_p-形式(p=1时即是投影不等式Petty猜想本身)，并给出了几个相关的结论，特别是解决了p=2时的投影不等式Petty猜想；与此同时，我们又研究了L_p-Petty投影不等式的逆形式，得到了多种版本的结果；此外，我们还比较深入地研究了L_p-投影体以及它的极的单调性不等式，并获得了较好的效果。在L_p-投影体和混合投影体概念的基础上，我们引入了一种新几何体-L_p-混合投影体，研究了它的有关性质，给出了它的Shephard问题，并分别建立了关于这个新几何体的体积和均质积分的Petty投影不等式，从而把L_p-Petty投影不等式和关于混合投影体的Petty投影不等式予以了推广；特别值得一提的是，将L_p-混合投影体的概念与L_p-混合均质积分相结合，可以把关于L_p-投影体(还有L_p-质心体)体积的单调性不等式推广到均质积分形式，我们为此也做了一些工作。对L_p-质心