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二阶椭圆型方程是一类重要的偏微分方程，它们描述了许多重要的物理、几何现象．同时，二阶椭圆型方程在微分几何、拟正则映射、弹性力学、控制论等方面有广泛应用．这使得研究二阶椭圆型方程的基础理论显得日益重要．本文旨在对某些二阶奇异椭圆型方程和A-调和方程弱解的相关性质进行研究．
全文共分五章．第一章是本文的概述，叙述了二阶椭圆型方程，特别是二阶奇异椭圆型方程和A-调和方程理论发展的历史过程、背景及现状．简述了研究二阶椭圆型方程和A-调和方程弱解的一些方法并提出了一些问题．第二、三、四章讨论了p-Laplace和Laplace型奇异椭圆问题弱解的(多重)存在性．第五章讨论了A-调和方程弱解的加权积分不等式及其应用．
在第二章中，我们在R中讨论了下列奇异Laplace方程具有正能量的非平凡径向解的存在性．
在第三章中，我们讨论了既包含Hardy位势又包含Sobolev-Hardy位势的齐次奇异椭圆方程多重解的存在性．研究了如下问题：
局部极小解和无穷多具有负能量的非平凡解的存在性．这里Ω是R(n≥3)中带有光滑边界的有界区域，o∈Ω0≤<2.1(n≥3)是包含原点的光滑有界区域，λ>0是正参数，△<,p>=div(｜▽<,u>｜p-2▽u)，1(Ω)=1且p*(s)=p(n—s)／(n—p)是临界Sobolev-Hardy指数．首先我们利用文[1]中关于奇异问题的集中紧原理<[2]的变形形式，结合Brezis-Lieb引理、Sobolev-Hardy不等式和反证法证明了问题(0.0.3)的相应泛函Jr(u)满足(PS)c条件．然后，利用Ekeland变分原理和泛函I(u)满足的(PS)c条件得到，在q,h(x)满足一定条件下，方程(0.0.3)一个具有负能量的非平凡解的存在性．最后，结合泛函，(u)满足的(PS)c条件和没有(PS)条件的山路引理证明了(0.0.3)一个具有正能量的非平凡解的存在性．
在第五章中，我们研究了关于微分形式的A一调和方程d<★A(X，dω)=0(0.0.4)弱解的加权积分不等式．首先，利用广义H lder不等式、弱逆H 1der不等式并通过一些积分次数的代换，结合A<,r,λ>(Ω)双权所满足的条件，在一定条件下得到了关于方程(0.0.4)弱解的局部A<,r,λ>(Ω)双权Poincar 不等式、Caccioppoli一型不等式和弱逆H lder不等式．然后，作为局部结果的应用，我们在满足一定条件的有界域上证明了方程(0.0.4)弱解的整体A<,r,λ>(Ω)双权Caccioppoli一型不等式和弱逆H lder不等式，并且利用δ一John域的性质，借鉴文【3】的方法得到了δ一John域上的整体A<,r,λ>(Ω)双权Poincar 不等式．最后，我们列举了A一调和方程弱解的具体例子并利用A-调和方程与拟正则映射的关系，把得到的局部和整体加权积分不等式应用到了拟正则映射理论中．