【摘 要】
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本文分为两个部分.第一部分为第二章.在第二章中,我们主要介绍了 Littlewood-Paley分解理论和Besov空间的相关基础知识,为后续第二部分的研究提供理论基础和证明工具.第二部分为第三章到第六章,我们研究几类具有分数阶耗散的不可压缩流体力学方程组解的适定性问题,它们分别是第三章中的Boussinesq方程组,第四、第五章的MHD方程组和第六章的Oldroyd-B模型.在第三章中,我们研究
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本文分为两个部分.第一部分为第二章.在第二章中,我们主要介绍了 Littlewood-Paley分解理论和Besov空间的相关基础知识,为后续第二部分的研究提供理论基础和证明工具.第二部分为第三章到第六章,我们研究几类具有分数阶耗散的不可压缩流体力学方程组解的适定性问题,它们分别是第三章中的Boussinesq方程组,第四、第五章的MHD方程组和第六章的Oldroyd-B模型.在第三章中,我们研究不可压缩d-维分数阶耗散的Boussinesq方程组的弱解在周期区域上的适定性问题.关于定义在全空间Rd上函数的Littlewood-Paley分解理论以及相关的Besov空间方法已经成为研究偏微分方程时不可缺少的工具.我们将全空间上的Littlewood-Paley分解理论以及相关的Besov空间的方法推广到周期区域上.我们在正方形截断的傅立叶级数部分和的有界性和收敛性的理论基础上,定义了周期函数的Litt.lewood-Paley分解,并且针对周期区域函数的分解建立了一套完整的工具.包含Bernst.ein不等式,Bony仿积以及周期区域上的Besov空间等,这对周期区域上的偏微分方程的研究将发挥很大作用.应用这一套工具我们证明了周期区域上分数阶耗散和无热扩散的d-维Boussinesq方程组弱解的两个主要结果:建立了任何α>0时L2-弱解的整体存在性.以及α≥1/2+d/4,d≥ 2时弱解的存在性和唯一性:另外还构造了零热扩散极限.在第四章中,我们考虑全空间中不可压缩d维分数阶耗散MHD方程组弱解的唯一性问题.我们的目标是找到弱解唯一性成立的最弱的非齐次Besov空间.我们证明了当 α>1/2,β ≥ 0 并且 α+β≥1 时,弱解u∈L∞（0,T;B2,1d/2-2α+1（Rd））和b∈L∞（0,T;B2,1d/2（Rd））的局部存在性和唯一性.而当α=1,v>0并且η=0时,也就是标准拉普拉斯耗散的MHD方程组的存在性和唯一性问题在[27,99]中已有证明.但是,他们的证明方法并不能直接推广到α<1的分数阶的情况中,这是因为在双线性估计中会出现问题.为了解决这一问题,我们充分利用分数阶耗散的条件,将双线性项做分解从而得到α<1时Besov空间中的估计.在第五章中,我们讨论MHD方程组的整体大解存在性问题.在许多分数指标的范围里,关于分数阶耗散的MHD方程组的整体存在性和正则性问题目前还没有被完全攻克.我们从一个不同的角度研究了这一公开问题.我们构造了 d维（d=2,3）任意分数阶的MHD方程组的一类大解.如果任意的初值满足其傅立叶变换是在一个特殊的不包含原点的紧支集中,那么,我们可以证明方程组存在唯一的整体解.在第六章中,我们考虑Oldroyd-B模型的整体大解存在性问题.我们将第五章中运用的方法推广到Oldroyd-B模型中,并得到对应的结论.
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