爱尔兰物理学家、数学家William Rowan Hamilton于1843年最先提出了四元数的概念。虽然距今已经有一百多年的历史,但是近年来有关四元数矩阵特征值和奇异值问题的研究得到了学者们的高度关注。一方面,四元数及四元数矩阵特征值问题在量子力学、彩色人脸识别等领域有着广泛的应用背景。另一方面,四元数矩阵奇异值分解在彩色图像压缩、图像补全、图像去噪、信号处理、滚动轴承故障诊断,以及脑电图学等方面也有着重要的应用。并且,目前已经有很多关于求解四元数矩阵右特征值问题的方法,主要包括纯拓扑方法、四元数QR方法、隐式Jacobi方法、四元数幂法,以及近几年涌现的一系列实保结构算法。因此,对四元数矩阵特征值问题和奇异值分解算法的研究具有重要的科学意义和应用价值。此外,矩阵特征值逆问题因在结构动力学、地球物理学,以及光谱学等领域有着广泛应用而备受关注。奇异值逆问题作为特征值逆问题的一种自然延伸,其在结构健康检测、暂态电路仿真、计算机断层扫描,以及码分多址系统的应用中有着充分地体现。特别地,在隐马尔可夫模型的参数估计中可通过求解随机矩阵奇异值逆问题而准确得到转移概率矩阵。根据不同结构的奇异值逆问题,已有算法包括构造性算法、递归算法、牛顿类型算法、交替投影算法和黎曼牛顿算法。因此,对奇异值逆问题的算法研究同样具有一定的理论意义和应用价值。本文主要就四元数矩阵奇异值分解和随机矩阵奇异值逆问题的数值算法展开研究,共计五章内容。第一章主要介绍四元数矩阵特征值（奇异值）问题和矩阵特征值（奇异值）逆问题的应用背景、研究现状、本文的主要成果和内容安排。第二章就四元数矩阵的奇异值分解问题提出了保结构单边Jacobi方法。该方法通过对四元数矩阵的实表示矩阵施行一系列正交JRS-辛变换,使得变换后的矩阵具有充分正交的列。这使得其对应的四元数矩阵的列充分正交。此时,将更新后的四元数矩阵的列单位化处理即得原四元数矩阵的奇异值分解。此外,还给出了该算法的收敛性分析。最后,将该算法用于彩色图像压缩,数值实验结果表明了算法的有效性。第三章提出求解四元数矩阵奇异值分解的预处理单边和双边Jacobi算法。首先,将经典的秩显QR分解推广至四元数矩阵的秩显(QR分解。然后以此为预处理提出保结构单边和双边Jacobi算法。在四元数秩显QR分解算法中,以一种递归的方式找到置换阵并对四元数阵作秩显QR分解,使得上三角因子可以揭示原四元数矩阵的数值秩。该预处理可将一个高维四元数矩阵奇异值分解问题有效地降为低维奇异值分解问题。预处理单边和双边Jacobi方法均比第二章提出的实保结构单边Jacobi方法的效率高,尤其在处理低秩四元数矩阵时候。在数值算例中,将所提出的算法与经典算法相比较,数值结果表明了所提算法的优越性。第四章就随机矩阵奇异值逆问题提出了黎曼Newton-CG方法。首先将随机矩阵奇异值逆问题等价地转化为求解乘积矩阵流行上的非线性矩阵方程,然后给出了求解该非线性矩阵方程的黎曼Newton-CG算法。在一定的假设条件下,证明了该算法具有线性或超线性收敛性。还将该算法用于求解给定部分元的情形。最后,通过数值算例验证了算法的有效性。第五章对全文的研究工作进行总结,并展望下一步的研究工作。