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J.Simon，H.B.Lawson，S.S.Chern，M.do.Carmo和S.Kobayashi在1968年研究单位球面中紧致极小子流形Mn的几何刚性问题，他们证明Sn+p(1)中满足S≤n2-1p的紧致极小子流形必为全测地子流形，S4(1)中Veronese曲面，Sn+1(1)中Clifford超曲面之一.
文献[1]，[6]，[8]，[12]等进一步研究了上述著名结果的改进和推广，取得了一系列重要结果.
最近，J.R.Gu和H.W.Xu研究了pinched黎曼流形中完备子流形的几何刚性问题，得到以下结果：
设Mn是n+p维完备单连通黎曼流形Nn+p中n维完备的平行平均曲率子流形.设KN是N的截曲率，H和S分别是M的平均曲率和第二基本形式模长平方，满足c：=infKN≤0，d：=supKN≥0，且c+H2＞0，则存在常数τ(n，p，H)(≤0)，τ2(n，p，H)(≥0)，其中τ21(n，p，H)+τ22(n，p，H)≠0，使得当KN∈[τ1(n，p，H)，τ2(n，p，H)]且nH2+A1(n,p)(d-c)+A2(n,p)[(n(n-1)-1H3]1/2(d-c)1/4≤S≤C0(n,p,H)-B2(n,p)(d-c)-B2(n,p)[n(n-1)-1H3]1/2(d-c)1/4,则Nn+p整体等距于欧氏空间Rn+p且M为全脐球面Sn(1H)，S4(1H)中的Veronese曲面，Rn+1中广义圆柱面Sn-1((n-1)/nH)×R1之一，其中常数C0(n,p,H)={n2H2n-1,若n≥3或n=2且p≤2,{53nH2,若n-2且p≥3,τ1(n，p，H)，τ2(n，p，H)，A1(n，p)，A2(n，p)，B1(n，p)，B2(n，p)为具体给定的正常数.
本文在H.W.Xu和F.Wang关于正pinched黎曼流形中平行平均曲率子流形的整体pinching问题研究的基础上证明了下述：
主要定理.设Mn(n≥3)是n+p维完备单连通黎曼流形Nn+p中n维闭的可定向平行平均曲率子流形.设KN是Nn+p的截曲率，且满足δ1≤KN≤δ2(δ1δ2≤0)，复合等距浸入Mn→Nn+p→Rl的相对平均曲率模长H满足H≤H0.若‖S-nH2‖n2≤C(n,p,δ1,δ2,H,H0),‖S-nH2‖,nn-2≥(δ2-δ1)α(n,p)vol(M),则N整体等距于Rn+p，且M必为Rn+p中的全脐球面Sn(1H)，这里C(n，p，δ1，δ2，H，H0)为与n，p，δ1，δ2，H，H0有关具体给定的正常数，α(n，p)为仅与n，p有关的正数，vol(M)为流形M的体积.
特别地，当δ1=δ2=0时，立即可得下述：
推论.设Mn(n≥3)为n+p维欧氏空间Rn+p中闭的平行平均曲率子流形.若‖S-nH2‖n2≤C(n)，其中C(n)为仅与n有关的正常数，则Mn必为Rn+p中的全脐球面.