使用笛卡尔网格方法可以方便快捷的生成计算网格，易于直接采用各种高精度数值方法，并能方便模拟运动物体，近来越来越获得人们的亲睐。笛卡尔网格方法除了网格生成简单及自动化水平高外，还利于网格自适应。但是对于双曲守恒律的大多数自适应笛卡尔网格方法数值格式精度一般只有二阶，虽然最近有人结合ENO/WENO方法希望获得高阶精度，但粗细网格界面处的插值，限制了整体求解格式的精度，而且粗细网格的处理要想既保持守恒性又保持高阶精度，往往很难做到。此外高精度ENO/WENO格式网格模板一般比较宽，为了保持高阶精度，需要比较多的虚拟单元来设置边界条件，增加了边界处理困难。　　Runge-Kutta间断Galerkin有限元方法(RKDG)是另一类高效的高阶精度数值方法，现在越来越引起人们的重视，在实际问题中的使用也越来越多。间断Galerkin有限元方法具有很多优点，包括灵活的hp自适应能力，一定的超收敛性，如果使用显Runge-Kutta时间离散方法还具有高度并行性。此外，不像ENO/WENO方法，RKDG方法使用网格模板比较紧凑，仅需要它的直接共面邻居就能获得任意阶精度。这个特性，使得RKDG方法十分方便处理边界，以及进行网格自适应，而且间断有限元方法能够处理悬挂节点，从而对于自适应笛卡尔网格尤其方便。此外，在网格加密与粗化过程中，可以对于解多项式使用L2投影，从而能够自动满足守恒性且保持高精度。鉴于RKDG方法的诸多优点，本研究主要考虑自适应笛卡尔网格下RKDG方法及其在复杂外形下的应用研究。　　本文的主要研究内容包括:　　自适应笛卡尔网格间断有限元算法细节，尤其是粗化加密解多项式的处理，限制器在粗细网格界面的使用，固体边界条件的处理等，并将所发展的方法用于各种定常非定常复杂外形问题的研究。　　自适应笛卡尔网格间断有限元正保持算法的研究，包括一个简单的保正限制器的研究，以及间断有限元下通量保正限制器的研究，提出一种参考点虚拟单元方法，这种方法可以直接使用有限元解多项式获得参考点处的值，并成功采用所发展的方法用于激波衍射等问题的研究。　　自适应笛卡尔网格最大的好处就是可以方便模拟运动物体，在第三部分我们主要开展了运动物体的数值模拟研究，提出一种新的边界处理条件，并初步用于振荡翼型问题的数值研究。