图像处理是一门与国计民生紧密相联的应用科学，它已经渗透到人们生活和工作的各个领域，如航空航天、生物医学工程、工业检测、机器人视觉、军事制导、地球物理以及大气环境等领域，已给人类带来了巨大的经济和社会效益;同时图像处理技术还远远不能满足社会需求.因此，对于图像处理的研究具有重要的意义和实用价值.　　 本文主要研究了图像处理中的两个基本问题:图像去噪、图像分割，运用了偏微分方程方法.图像去噪属于图像复原范畴，它要求对观测到的图像进行去噪，恢复理想图像的原貌.图像分割即是将图像中感兴趣的对象与图像中的其余部分相分离，以便为更高层图像处理服务.在简要介绍图像处理的一些基本概念和研究现状的基础上，本论文针对图像去噪和图像分割进行了深入研究，所做的主要工作如下所述:　　 提出了一种解LLT模型(各向同性)的非线性多重网格方法.通过对求解LLT模型的Chambolle对偶迭代(CDA)进行局部傅立叶分析，并分析其光滑速度，使我们知道采用其作为光滑迭代的多重网格迭代收敛会很慢;而且，通过对带参数的修正光滑迭代进行局部傅立叶分析，使我们认识到选择适当的参数有助于改进收敛速度.在此基础上，数值求解时，我们提出了采用改进的对偶迭代作为多重网格方法的光滑迭代.由于是对LLT模型的对偶问题进行多重网格迭代求解，从而求得原问题的解，这样也克服了模型不可微性造成的数值求解困难.所提出的多重网格方法用于灰度图像进行实验，效果明显好于CDA.当图像规模变大，即离散化更加精细时，多重网格方法在计算量上较其他方法增加少.　　 提出了一种解带两个L1正则项的一般化图像去噪模型的非线性多重网格方法.特别地，我们把该方法应用到了解两个特殊的模型:各向异性ROF模型和各向异性LLT模型.通过对解这两个模型的Chambolle对偶迭代和一种修正光滑迭代分别进行局部傅立叶分析，并分析它们的光滑速度，我们证明了所提出的多重网格方法采用改进的对偶迭代作为光滑迭代是非常合理的.为了克服模型不可微性造成的数值求解困难，我们是对由原问题的对偶问题产生的对偶方程采用多重网格算法求解.在推导出原问题相应的对偶方程时，和以往的方法不同，我们采用了增广拉格朗日方法来推导，更为简单.数值实验验证了解这两类各向异性图像去噪模型的多重网格方法的高效性，并表明该方法更适合处理大规模图像.　　 研究了二相位分片常数Mumford-Shah模型进行图像分割的改进的对偶算法.原问题被转化为三个子问题来求解，其中一个子问题我们提出采用改进的对偶迭代计算.为了证明该方法的合理性，我们对Chambolle对偶迭代和一种带参数的修正的迭代格式分别进行了局部傅立叶分析.通过数值实验验证了所提出的算法保持了基于对偶算法的水平集图像分割方法的快速分割能力，提高了分割的质量.