有限元方法是求解微分方程及许多工程问题的有力工具.在各种网格上构造鲁棒的非协调有限元,同时对具体问题设计可靠的有限元格式来求解是有价值的工作.此外,鉴于射影几何、代数几何和计算几何联系紧密,将射影不变量应用于具体的几何研究对象也是有意义的课题.本文对非协调有限元和射影不变量两方面进行了研究.本文对非协调有限元的构造和应用展开如下研究.第一,本文针对二阶椭圆问题构造了对任意凸四边形网格鲁棒的非协调有限元,尤其是其二次和三次情形.对于每种情形,首先在任意凸四边形上定义适定的非协调有限元,其自由度包含四边形边界上的各阶矩,然后对上述单元施加一个关于自由度的线性限制以得到带约束的有限元.在二次和三次情形,每个有限元分别具有8个和11个自由度.全局元空间的维数与网格的单元数、顶点数和边数有关,同时本文详细刻画了一组易于使用的基函数.上述有限元应用于二阶椭圆问题具有最优收敛性.数值实验验证了本文的理论分析.第二,本文设计了多个应用于不同情形的求解Stokes问题的非协调混合有限元方法.其一是对于二维任意凸四边形网格,利用第一部分工作建立的非协调有限元与分片不连续多项式单元构造稳定的混合元.对于二次情形,可直接利用分片不连续P1元逼近压强;而对于三次情形,需要向离散速度空间中添加泡沬函数.其二是考虑三维Stokes问题,采用长方体剖分,利用向量形式的MSLK元逼近速度.由于直接应用分片不连续P1元逼近压强是不稳定的,我们将压强空间修改为分片宏P1元空间,构造了稳定的混合有限元.该方法显著减少了已有方法的自由度数目,且不降低逼近阶.其三是针对单纯形网格上的CR-P1元,修正了 Lamichhane在文献[61]中的错误,指出该混合元的稳定性依赖于给定的网格.对二维情形,给出并证明了使CR-P1元稳定的宏单元所满足的充分必要条件.此外,为能将CR-P1元应用于更广泛的网格,本文给出其一个改进格式.上述所有工作的稳定性和收敛性理论均可由数值实验得到验证.本文还讨论了射影不变量及其在代数几何和计算几何中的应用.首先,本文扩展了罗钟铉教授提出的代数曲线的特征数的概念,使得特征数不再依赖于代数曲线而存在,并证明它是任意维射影空间中的射影不变量,并由此给出一个代数超曲面与闭回路直线集的相交性质.利用该性质,我们给出两种不同形式的Pascal定理在高维空间中的推广.第一种推广给出了不同次数的代数超曲面之间的联系;第二种推广给出了代数超曲面与单纯形的相交性质.上述推广与已有的某些推广格式完全不同,但可以良好地保持原始Pascal定理的形式.此外,本文还给出了包含Morgan-Scott型剖分在内的一类更广泛剖分上一种样条函数空间奇异的代数条件.利用上述结果,由代数条件导出相应的几何条件.