本文主要研究一类拓广的Besicovitch集合及其Hausdorff维数，这类集合是与区间[0，1]的中实数x的c-进制(c大于或等于2的整数)展开式中对应于自然数集的一个划分的位置上备数字出现的频率有关的分形集。 　　很多分形都可以用数论的术语来定义，例如三分Cantor集是由[0，1]区间中，在以3为底的展开式中，只包含数字0和数字2的数构成的。长期以来，对于这一类集合的研究一直是分形几何领域的一个重要的研究方向。对于一个实数x∈[0，1)的二进制展式，一个经典的结果是Borel发表于1909年的的正规数的定理，即它的展开式中所有的数字出现的频率是相等的。随后即开始了对那些数字出现的频率不相等的数x的集合即非正规数集合的研究，尽管这样的集合的Lebesgue测度为零，但是它们的Hausdorff维数却可能是非零的。对于Besicovitch-Eggleston集的研究一直是分形几何领域中的一个热点。如最近几年的就有Olsen研究了一种被称为r近似的离散的Besicovitch-Eggleston集的维数，他的结果提供了Besicovitch和Eggleston关于非正规数集合的Hausdorff维数的经典结果的一个离散的模拟。另外Bisbas、Barreira等人研究了一大类定义在实线上的集合的Hausdorff维数，这类集合是由在某些整数基底的展开式中数字的频率的分布而给出的，他们的结果证实并且从几个方面扩展了Borel，Besicovitch，Eggleston和Billingsley的经典的工作，而他们所采用的就是最近的有关动力系统的重分形分析的方法，并且得到的是Hausdorff维数的显式表达式。本文考虑一类Besicovitch-Eggleston集的变形。事实上本文将考虑在数的展开式中对应于自然数集N的一个划分的位置上备数字出现的频率，更准确地说：令N=∪Mk是一个划分，对任意的数字j，用ψk,j(x)表示x的展开式中，下标属于集合Mk的位置中数字j出现的频率。给定P={pk,j｝，研究对(所有的或部分的)(k,j)，频率tgk,j(x)等于相应的pk,j的数x组成的集合，它的维数不仅与数pk,j有关，而且依赖于分划N=∪Mk中各Mk在N中的密度dk。