【摘 要】
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本论文的研究分为两部分.论文第一部分主要研究求解大型稀疏线性方程组的随机Kaczmarz方法的相关数值算法问题,并将其应用到压缩感知、信号重构等问题中.所做工作的相关内容概括如下:1.通过对Kaczmarz算法的研究,利用随机抽样的方法来计算部分残差,作者得到了一种新的求解大型线性系统的数值迭代方法.根据每一次随机选取部分行计算其残差,并选取残差最大的一行来进行Kaczmarz迭代,作者构造了随机
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本论文的研究分为两部分.论文第一部分主要研究求解大型稀疏线性方程组的随机Kaczmarz方法的相关数值算法问题,并将其应用到压缩感知、信号重构等问题中.所做工作的相关内容概括如下:1.通过对Kaczmarz算法的研究,利用随机抽样的方法来计算部分残差,作者得到了一种新的求解大型线性系统的数值迭代方法.根据每一次随机选取部分行计算其残差,并选取残差最大的一行来进行Kaczmarz迭代,作者构造了随机抽样Kaczmarz（RS K）算法.数值实验显示该方法是有效的.此外,作者将RS K算法扩展到压缩感知中的信号重构问题,并建立了相应的随机稀疏采样Kaczmarz（Ra S S K）算法.结果表明Ra S S K在压缩感知应用中得到了不错的效果.2.随机扩展Kaczmarz（REK）方法和贪心随机Kaczmarz（GRK）方法是求解大型线性方程组的随机迭代算法.通过对Kaczmarz算法的研究,作者提出了一种多步贪心随机扩展Kaczmarz（MGREK）方法,这种算法主要融合了GRK与REK算法的优势,能充分利用了REK方法的剩余信息.本文将这种新的算法与前人提出的算法通过不同类型算例的数值计算来进行比较,可以说明这种新的方法在各种情况下都能有较快的计算结果.积分方程是近代数学的一个重要分支,它与微分方程,计算数学和随机分析等有着紧密的重要联系.另外,它又是数学联系力学,数学物理和工程等应用学科的重要工具.电磁计算、金融工程化及流体力学等应用领域,经常使用微分方程和积分方程来模拟现实问题.在量子力学、运输交通,电磁散射和计算机图形处理等研究领域中,许多都要涉及求解第二类Fredholm积分方程.本文的研究第二部分主要是Pad′e-型逼近的递推算法问题,并应用到求解二维第二类Fredholm积分方程的问题中.所做工作的内容具体概括如下:1.为了避免函数值Pad′e-型逼近高阶行列式的计算,针对函数值Pad′e-型逼近的生成多项式,作者通过构造一种投影算子结合Sylvester-等式从而形成一种形如倒三角形的递推算法.最后,给出相应的数值例子说明算法的有效性.2.借助形式正交多项式,作者利用多项式关于线性泛函的三项递推关系,针对函数值Pad′e-型逼近的生成多项式,形成一种相应的递推算法,将高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算.最后,作者给出相应的数值例子加以分析.
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