微分动力系统分析方法的理论研究及其在其它领域中的应用,是应用数学中的两个重要内容.本博士学位论文就在动力系统的理论和应用两个方面进行了研究,主要做了三方面的工作:建立且分析了一个有向关联网络上的传染病模型,推广了平面动力系统中的旋转数理论,并且利用Conley指标理论研究了双吸引子间的动力学结构.文中的主要内容概述如下:首先,越来越多的迹象表明,许多真实的网络之间是相互作用的,并且有时网络上的疾病传播是有向的或非对称的.基于这两个事实,本文建立且分析了有向关联网络上的疾病传播模型.同时,该模型也是无向网络、单层网络以及二部网络上传染病模型的推广.通过计算,得到了流行病学研究中最关心的基本再生数R0,由此也得到了一些特殊网络的基本再生数.通过理论分析,解释了耦合导致基本再生数增大的原因,也给出了由于耦合而引起疾病暴发的一个充分条件.此外,本文还给出了疾病在整个网络中暴发与否的充要条件,以及疾病只在单个子网流行的充分条件.有趣的是,后者只能在该有向关联网络中发生,而在无向的关联网络中是不可能出现的.最后通过数值模拟,还发现节点联合度的独立性可以大大降低度的异质性对流行率的影响.其次,通常认为简单闭曲线的旋转数和平衡点的指数只能定义在平面动力系统上,但本文将该指标理论推广到了n-维系统.对于一个闭的、定向的（n-1）-维超曲面S,这里定义其旋转数w（S）为S在向量场下的像f（S）围绕原点的净圈数,即w（S）=1/（?n）（?）s*（α0）.文中给出了超曲面旋转数的一些性质,包括离散性、非平凡性和同伦不变性.由此,还定义了点的旋转数,即定义为除该点之外不包含其它平衡点的超曲面的旋转数,以及证明了它的加性和连续性.本文还将旋转数与其它的拓扑理论进行了对比,发现可以用旋转数直接定义连续函数的布劳威尔度,也发现旋转数与Conley指标理论有许多极其相似的特性,比如两者都对维度不敏感,都有着相关的研究思路等.最后文中还给出了与旋转数性质相对应的一些应用.最后,本文利用Conley指标研究了双吸引子间的动力学结构.研究背景是基于双稳现象在生命科学领域极其常见,从微观的基因表达到宏观的物种竞争,具有双稳结构的生物模型比比皆是.文中将稳定的状态看作动力系统中的吸引子,从而研究了两种双稳结构:一种是具有两个点吸引子的双稳态;另一种是具有一个点吸引子和一个环吸引子的双稳态.这里的研究思路是,通过逐渐增加前提条件从而得到双稳结构的详细动力学行为,然后将前提条件放宽得到双稳态更一般的结论.发现在一定的条件下,无论是哪一种双稳结构,在两个吸引子间总是存在存在不变集,并且还分别存在该不变集到两个吸引子的连接轨.此外,在两种双稳结构中,都存在分界线或环形分界线,它将所研究的区域分为两部分,每一部分中几乎所有轨线都趋于对应的吸引子.最后,文中以生态中的竞争模型为例,解释了如何应用所得的结论.同时,也给出了其它四个生物模型,用来表明双稳结构的普遍性.