分形分析已经成为“分形理论与应用”研究的重要组成部分之一，发展分形分析也已成为当今重要的前沿课题.现代科学的各领域中出现的新问题，多与分形的动力学行为以及分形的内在本质紧密相关联.这样，就使得分形的研究远远超出经典数学的研究范围，经典数学工具显得很不够用，特别要强调，代表运动物体变化率的导数对分形函数已经失去意义.于是，寻求新的变化率，建立分形的ODE与PDE，就成为分形分析的重要课题之一.本文致力于具有分形边界经典导数意义下与p-型导数意义下二维波动方程的研究，旨在为分形微分方程的研究寻求新思路，探索新途径，建立新理论，开发新技巧。　　 本文的第二章§2.1研究以2-进von Koch型曲线Γ为边界的经典二维波动方程，得到它的形式解u(t，x，y，)，并定义了波动方程的解，证明在一定条件下，解u(t，x，y)是处处不存在有限导数的连续函数.然后对于给定的3个初始位置与初始速度，绘出解的几次近似图形，计算解的图形截面边界的盒维数.从而得到相应的薄膜振动的曲面是一个分形曲面.所获得的结果使我们能进一步研究二维薄膜振动的解曲面的分形性质，以及具有分形边界的二维波动方程解的“适定性”的准确提法等一系到的理论问题.§2.1中得到如下主要结果。　　 1.以2-进von Koch型曲线Γ为边界的经典导数意义下的二维波动方程定解问题§2.2中研究形式解(2.0.2)的可微性，得到在一定条件下，形式解(2.0.2)是一类处处连续处处不可导的函数，因此在一定条件下，(2.0.2)表达式表示一类分形函数。　　 §2.3中通过数值例子观察形式解(2.0.2)的性质，对于给定的初始位置与初始速度，绘出形式解在t=1，t=6，t-15的解曲面(见图2，图3，图4)，计算解曲面截面图形的边界的盒维数(见表2.1，表2.2)。　　 第二章§2.4研究了局部域Kp上的变分原理与一类极值问题.给出局部域Kp上的一类极值问题与p-型微分积分方程的解之间的关系。　　 第二章的§2.5中，在p-series域上研究以p-进von Koch型曲线，γ为边界p-型导数意义下的二维波动方程的定解问题，§2.5中得到如下结论。　　 1.以p-进von Koch型曲线γ为边界的p-型导数意义下的二维波动方程定第三章给出§2.3与§2.5中形式解的计算机实现.第四章是进一步的研究课题。