本文通过深入研究揭示了拟共形理论中的一些特殊函数(这些函数包括Gauss超几何函数、完全椭圆积分、广义椭圆积分、偏差函数Ψk(γ)、λ(K)、Ηk(t)及其广义形式等)的分析性质,建立了它们满足的一些不等式,运用这些结果,加强了显式拟共形Schwarz引理并改进了Ramanujan模方程解的某些已知的估计。此外,还研究了Seiffert平均与Lehmer平均、广义Heron平均与单参数平均之间的关系。　　 本论文分为四章:　　 在第一章中,主要介绍了本文的研究背景,并引入本文所涉及的一些概念、记号和已知结果。　　 在第二章中,首先用简单的方法解决了一个有关Gauss超几何函数的猜测。然后,通过研究ε(γ)与一些初等函数的组合的单调性质,得到了ε(γ)的一些精确界。最后,给出一个Kα(γ)在γ→1时的渐进不等式。　　 在第三章中,首先通过深入研究Hübner函数与初等函数的某些组合的单调性质,获得了Hübner函数用初等函数给出的精确界。运用这些结果,改进了拟共形理论中的Hersch-Plfuger偏差函数已有的界。从而加强了显式拟共形Schwarz引理并改进了Ramanujan模方程解的估计。然后,建立了广义Hübner函数mα(γ)+logrγ与第二类完全椭圆积分ε(γ)的联系,得到了关于广义Hersch-Plfuger偏差函数ψαK(γ)与广义Ramanujan模方程解的几个精确不等式。最后,得到了偏差函数λ(K)与Ηk(t)的一些新的性质与不等式。　　 在第四章中,获得了Seiffert平均的最佳Lehmer平均界及广义Heron平均的最佳单参数平均界。