相对连续系统而言，对离散系统混沌化的研究比较成熟些。在有限维实空间中，作为由可微映射描述的离散系统在Li-Yorke意义下混沌的判据，Marotto定理得到广泛应用。但在上世纪90年代，有学者发现Marotto定理的证明在高维时有错误，并举出了反例，引起学术界的热烈讨论：有的改正Marotto定理的证明，但仍存在错误，有的加强定理条件，得到新的定理。本文从另一个观点去完善Marotto定理的证明，认为不动点的扩张性的揭示与赖以度量的坐标系有关。所得的结果表明， Marotto定理是正确的，而且还可以减弱该定理的条件，另外，我们还得到了关于在Devaney意义下混沌的结果，并将这些结果与控制理论的结果相结合推导出由线性ODE组成的开关系统混沌化的一个一般性结果。 由于信息科学中混沌编码的需要及实际物理系统规律，和用计算机模拟及仿真进行研究的需要，混沌同步问题在近几年来成为非常活跃的研究领域．在混沌同步的研究中，使用的控制方法很多．如：线性与非线性反馈，PC变量替代法，自适应控制法，变结构控制，不变流形方法等．而且主要的判别方法都是以Lyapunov函数为工具，主要针对比较典型的ODE混沌系统展开研究．比如常见的：Lorenz系统，Chen系统，Lure系统和Chua电路等等。本文中应用惯性流形方法，将混沌同步问题中完全同步和广义同步的研究转化为对主从系统惯性流形的存在性的研究。本文针对连续ODE混沌系统的同步问题，使用惯性流形方法展开讨论，所得的主要结果涵盖了很多已有文献的结果．惯性流形是一种不变流形，它具有很好的性质，比如，惯性流形能够指数吸引所有解的轨道等．特别指出的是，有一些文献使用不变流形和开关流形的方法来讨论混沌同步问题，事实上，这些流形都属于变结构控制中的滑动膜，和我们使用的惯性流形方法，作为不变流形的一种有本质不同。 研究PDE系统的动力行为，包括整体吸引子和惯性流形的存在性等，是很重要的。比如若惯性流形存在的话，一个PDE系统的动力学行为就可以由一个ODE系统来描述．另一方面，对非线性PDE系统的分岔和混沌的研究尤为重要．但是对于混沌化方面的研究，目前只有一些关于带非线性边值的线性双曲系统的成果．针对边界耦合的。PDE系统的混沌化问题，本文引入惯性流形来解决由PDE系统对混沌和混沌同步研究所带来的困难，得到这类系统的混沌判据。 在使用惯性流形的方法来研究PDE系统的混沌同步问题时，通过PDE系统和相应的ODE系统在整体吸引子上的拓扑等价性，得到了对于恒同耦合系统和非恒同耦合系统的完全同步和广义同步判据，这些判据主要与矩阵的特征值和同步流形函数相关，这给计算带来方便。 另外，基于对ODE系统的混沌同步方法的研究，与已有的文献中用观测器理论研究同步问题相反，用研究同步的惯性流形方法和自适应控制方法来研究观测器的设计，还将说明对于参数确定系统，构造的观测器是全局的，初值可以任意选取；对于参数未知系统，构造的观测器只是局部的．值得指出的是，对于初值敏感的混沌系统依然适用。