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本文考察如下发展型p-Laplace方程组的正解：
{ut=div(|(△)u|p-2(△)u)+f(u，v)，(x，t)∈Ω×(0，T)，(1.1)vt=div(|(△)v|p-2(△)v)+g(u，v)，(x，t)∈Ω×(0，T)，
其中Ω为Rn中具有光滑边界的有界区域，f(u，v)和g(u,v)为非负的连续函数，对每个变量不减，p＞2.边界条件为：
{()u/()η=h(u,v),(x,t)∈()Ω(0,T),(1.2)()u/()η=s(u,v),(x,t)∈()Ω×(0,T),
其中h(u，v)、s(u，v)是正的C1函数，对每个变量不减.初值条件为：{u(x，0)=u0(x)，x∈Ω，v(x，0)=v0(x)，x∈Ω.(1.3)
其中u0(x)，u0(x)在(Ω)上为正的连续函数.
我们通过讨论常微分方程组的初值问题来研究问题(1.1)-(1.3)正解的性质，相应的常微分方程组为
ψ′(σ)=h(ψ(σ)，ψ(σ))，σ∈R，ψ′(σ)=s(ψ(σ)，ω(σ))，σ∈R，ψ(0)=ψ0，ψ(0)=ψ0.(1.4)
其中ψ0，ψ0是适当选取的非负常数.
这一类具有非线性边界条件的发展型p-Laplace方程组初边值问题在化学，物理，生物，经济等领域具有广泛应用.
本文运用上下解方法，通过构造上下解，将该类发展型p-Laplace方程组(1.1)-(1.3)的解与相应的常微分方程组(1.4)的解关联起来，在有界区域的情形下，我们得到了如下正解的全局有限性及有限时间爆破性结果.
定理1.如果(1.4)的每个正解爆破，那么(1.1)-(1.3)的每个正解爆破.
假定(1.4)有全局正解，并假定F(σ)/ψ′(σ)，G(σ)/ψ′(σ)财时单调递增或者递减，F和G定义为
F(σ)=(ψ′(σ))p-2ψ″(σ)+(ψ′(σ))p-1+f(ψ(σ)，ψ(σ))，σ∈R，G(σ)=(ψ′(σ))p-2ψ″(σ)+(ψ′(σ))p-1+g(ψ(σ)，ψ(σ))，σ∈R.@那么在上述假设下，我们得出
定理2.如果
∫∞1/min{F(σ)/ψ′(σ),G(σ)/ψ′(σ)}dσ＜∞,那么(1.1)-(1.3)的解在有限时刻爆破.
定理3.如果
∫∞1/min{F(σ)/ψ′(σ),G(σ)/ψ′(σ)}dσ=+∞,那么(1.1)-(1.3)的解全局有限.
以上结果的证明依赖于上下解方法.这种方法是建立在比较原理上的，为了证明问题(1.1)-(1.3)的比较原理，我们首先证明如下线性边界条件下的p-Laplace方程的弱比较原理，Hopf边界点比较原理和强比较原理.
令QT=Ω×(0，T)，()pQT=((Ω)×{0})∪(()Ω×(0，T])，(Q)T=(Ω)×[0，T]，若u，v∈C2(Ω，(0，T])，且有ut-△pu≥vt-△pv，(x，t)∈QT.(2.7)
那么如下引理成立：
引理2.1(弱比较原理)若在()pQT上有u≥v，那么在QT上有u≥v.
引理2.2(Hopf比较原理)在QT上有u＞v，对某些P(x0，t0)∈()Ω×(0，T]有u(x0，t0)=v(x0，t0)且在QT上有|(△)u|＞0，那么()u/()η(x0，t0)＜()u/()η(x0,t0).
引理2.3(强比较原理)若在QT上有u≥v，()pQT上有u≠v，那么在QT上有u＞v.
我们在本文中分别给出上下解得定义，随后用上述引理推广证明了具有非线性边界条件的发展型p-Laplace方程组的比较原理，结果为：
引理2.4如果问题(1.1)-(1.3)的ε-上解((u)，(v))满足(u)0(x)＞u0(x)，(v)0(x)＞(v)0(x)，x∈Ω，那么(u)(x，t)＞u(x，t)，(v)(x，t)＞v(x，t)，(x，t)∈Ω×(0，T).
引理2.5如果问题(1.1)-(1.3)的ε-下解((u)，(v))满足(u)0(x)＜u0(x)，(v)0(x)＜v0(x)，x∈Ω，那么(u)(x，t)＞u(x，t)，(v)(x，t)＞v(x，t)，(x，t)∈Ω×(0，T).
在此基础上，我们利用常微分方程组(1.4)的解构造问题(1.1)-(1.3)的下解：
令{w(x，t)=ψ(α(x)+β(t))，(x，t)∈Ω×(0，T)，z(x，t)=ψ(α(x)+β(t))，(x，t)∈Ω×(0，T).
其中(ψ，ψ)是常微分方程组(1.4)的解.取β(t)=κt，α(x)=δ｜｜x-x0｜｜2(x0(∈)(Ω)).经过计算，我们可以选取适当的δ，κ，ψ0，ψ0使得(w，z)为(1.1)-(1.3)的ε-下解，再通过上述比较原理及定理1的条件证明了前面的定理1.
类似定理1的证明，取
α(x)=δ｜｜x-x0｜｜2(x0(∈)(Ω))β′(t)=min{CF(β(t))/ψ′(β(t))-ε1,CG(β(t))/ψ′(β(t)),-ε2，我们能够选取合适的C，δ，β(t)，ψ0，ψ0，ε1，ε2，使得(ω，z)为(1.1)-(1.3)的ε-
下解，再通过比较原理及定理2的条件证明了定理2.
在定理3的证明中，取
β′(t)=Lmax{F(β(t+k))/ψ′(β(t+k))+ε1，G(β(t+k))/ψ′(β(t+k))+ε2}.
选取适当的k，L，β(t)，ψ0，ψ0，ε1，ε2，使得(w，z)为(1.1)-(1.3)的ε-上解，从而通过比较原理及定理3的条件证明了定理3.
最后，我们根据证明的条件构造出了2个具体方程组例子.