在数学、物理学、生物学、医学和控制论等诸多科学领域中出现了各种各样的非线性问题，且在解决这些非线性问题的过程中，逐渐形成了现代分析中一个非常重要的分支一非线性泛函分析.它主要包括变分法，不动点方法和拓扑度方法等内容，为解决当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具，尤其在处理应用科学提出的各种非线性问题中发挥着不可替代的作用.目前实际问题中不断涌现出大量的非线性微分方程问题，需要人们深入研究，在这一过程的非线性分析中，变分法已经一次又一次地被证明是解决微分方程初值问题的强有力的工具之一.微分方程中的变分法是把微分方程边值问题化为变分问题，以便运用分析的方法考虑方程解的存在性、解的个数及求其近似解的方法。即将研究方程的解转化为该微分方程所对应的能量泛函(Euler-Lagrange泛函)的临界点，其中微分方程的弱解就是其临界点，于是寻找泛函的临界点成为解决问题关键所在.迄今为止经过许多数学工作者长期努力的研究，这种分析方法逐渐形成了一个解决非线性问题的数学方法一变分法. 本文正是运用这种变分法考虑一类拟线性椭圆方程非平凡正解、变号解的存在性问题.我们的方法和技巧主要是受文[1，2，9，11]的启发. 本文主要考虑拟线性椭圆方程： 本文共分为四章. 第一章，一些预备知识，通过介绍临界点理论的一些基本知识，基本引理以及一些记号说明，以便后面各章节的应用. 第二章，这一章主要是运用Nehari方法讨论方程(111)，并得到一个非平凡正解的存在性结果.这个方程的困难主要有两点： (1)涉及到二阶空间导数的非线性项.在变分法中，导致这种困难的就是下面的4阶齐次且非凸的非线性泛函 (2)缺乏紧性问题，因为我们常常在整个无界区域，如RN上考虑问题的.不过，我们给出了条件(V1)、(V2)以及一些引理，克服了上述两点困难，得到如下结论： 定理2.1.1假设V(z)满足条件(V1)、(V2)，k是-个大于0的常数，4≤p<∞.则问题(1.1)至少存在-个正解. 第三章，我们研究的是方程(1.1)在满足(V1)、(V2)、(V3)的条件下，变号解的存在性结果.我们先定义函数 定理3.1.1假设V(x)满足条件(V1)、(V2)、(V3)，则方程(1.1)至少存在-对变号解.