该文讨论了概率论与数理统计及其相关领域的某些专题.该文分三章,共由5篇论文组成,其中一些文章已经公开发表或已经被接受.第一章由一篇论文组成,主要是对概率算子测度展开一些研究.在光通信中,量子信号的估值与检测理论得到发展与应用.它有许多新的特点,它的模型是以量子场为背景,因此它的检测问题涉及到量子场的原理和方法.在Helstrov的专著中,为对一个量子系统的参数进行估量与判别,引进了概率算子测度(POM)及一系列运算,但涉及POM运算的一系列问题,如POM的存在性问题,关于POM的积分问题,关于两个POM的求导问题,POM的弱收敛问题,在一般量子检测理论中往往不予讨论;但从教学角度看,这些问题确实存在.罗跃虎、沈世镒等对算子测度的扩张,积分以及两个算子测度的Radon-Nikodym问题等进行了深入讨论;彭家南等研究了概率算子测度的弱收敛问题.我们对上述问题也进行了一些探讨,给出了概率算子测度弱收敛的其他的一些充要条件和充分条件;推广了算子测度的扩张定理;引进了概率算子测度的相对紧和胎紧等概念,并且证明了刻划相对紧和胎紧二者之间关系的Prohorov定理在概率算子测度情形也成立.我们把将普通测度论的一些其他结论亦推广到概率算子测度上去,深化了对概率算子测度的认识.第二章主要由两篇论文组成,主要研究了线性模型中关于相对效率的一些专题.对于Gauss-Markov线性模型,我们可以得到参数β的最佳线性无偏估计(BLUE)<~>β和最小二乘估计(LSE)<~>β.<~>β一般不等于<^>β.探讨二者究竟有多大偏离,这在某些应用方面是很重要的.比较<~>β和<^>β的差异的其中一种方式就是考虑<~>β相对于<^>β的相对效率.该章的第一篇论文定义了非奇异线性模型的一种新的相对效率,即Cov(β<*>)对于Cov(<^>β)的所有相对特征根之和的单位化.这种新的定义方式较深刻地揭示了Cov(β<*>)与Cov(<^>β)之间的联系.这篇文章对这种新的相对效率的性质及其和其它形式的定义之间的关系也进行了研究与比较,得到了一系列有意义的结果.最后还给出了它的下界的两种互相独立的估计.该章的第二篇论文主要讨论奇异线性模型的相对效率.这篇文章把刘爱义,丁杰等所讨论的非奇异线性模型的相对效率推广到奇异情形.定义了奇异线性模型的两种相对效率e2(<^>β)和e5(<^>β),利用矩阵代数工具给出了e2(<^>β)和e5(<^>β)的三个下界估计.并且得到了一些矩阵不等式.第三章主要由两篇论文组成,主要讨论了线性模型中所涉及到的一些不等式和图上的有关不等式.该章的第一篇论文给出了Kantorovich不等式的一个新的较简单的证明,并且给出了其推广形式.同时在形式上也推广了Greub-Rheinboldt关于Kantorovich不等式的一个推广.文章还给出了Young,Holder和Minkowski矩阵不等式和它们的反不等式,因此得到了不等式链.这些不等式在线性模型以及统计学其它领域中有着重要的应用,该章的第二篇论文讨论了图上的一些不等式.这篇文章利用随机分析的研究结果与方法,给出了图上拉普拉斯算子特征值的一个估计,把一些泛函不等式推广到图上,并且讨论了图上Sobolev类型不等式的等价性.