本文分成三章。第一章中我们得到平均曲率流中局部Harnack不等式和nonconic估计。这个估计也许可以应用于平均曲率流的手术。第二章我们研究了欧氏空间中Hk流中的Harnack不等式。在第三章中,我们应用Hk流的Harnack不等式,得到了Hk流第II类和第Ⅲ类奇点分别是translating soliton和扩张soliton的定理。 ·平均曲率流的局部Harnack不等式首先我们介绍一下在欧氏空间中超曲面的平均曲率流的定义和历史。设Mn是一个黎曼流形。 F0:Mn→Rn+1是一个Rn+1中浸入超曲而。若F(·,t):Mn×[0,T)→Rn+1是一族单参数光滑超曲面的浸入映射,且满足方程： {(e)/(e)t F(x,t)=H(x,t)v,F(x,t)=F0. ,x∈Mn,t∈[0,t)其中v是超曲面的内法向量。则我们称(M,g(t))是平均曲率流的一个解。 平均曲率流的研究始于Huisken[22]。在这篇文章中,他证明在欧氏空间Rn+1中的闭超曲面能够在平均曲率流下收缩成一个点,并且这一点是一个圆形的球点。继而他在[23]中考虑了在一般黎曼流形Nn+1中的超曲面Mn中的平均曲率流。在[24]中研究了欧氏空间中平均曲率流的奇点的渐进性质,并对奇点进行了分类。在文[25]中,Huisken研究得到了外围空间是一般黎曼流形的第一类奇点的渐进自相似性质。最近在[21]中Huisken与Sinestrari对2-凸的欧氏空间超曲面进行了平均曲率流下的手术,得到了2-凸超曲面的拓扑分类。 正如Ricci流解决了Poincare猜想,平均曲率流有望解决有Schoenflies猜想。下面陈述一下Schoenflies猜想。 猜想1(Schoenflies猜想)在欧氏空间Rn+1中,n≥3,任何微分同胚于Sn光滑的嵌入闭超曲面所包围的区域一定微分同胚于嵌入的欧氏空间Rn+1中标准单位球Bn+1。 在[21]中,Huisken与Sinestrari得到了关于2-凸超曲面的Scheonflies型定理。 定理1([21]中推论1.3)在欧氏家间Rn+1中,n≥3,任何单连通嵌入的n维2-凸闭超曲面一定微分同胚于Sn,并且其包围的区域一定微分同胚于嵌入的欧氏空间Rn+1中标准单位球Bn+1。 在[21]中,Huisken与Sinestrari运用了Hamilton最近提出的一个用来证明邻域正则性的思想完成了对2-凸超曲面的手术,从而得到了定理1。而在第一章中,我们将运用Hamilton的这一思想得到一个关于平均曲率流的平均曲率导数的估计,我们称之为局部Harnack估计或者nonconic估计。在这里,我们并没有对超曲面进行2-凸的限制,而是对第二基本型进行了另一种pinching的限制。因此,我们的估计也许可以应用于一般情形超曲面的手术和Schoenflies猜想的证明。 设U是Mn上的一个连通开集,且在U×[0,t0],t0CCU,并且我们设C0=MR。令dt(x)=dt(x,O)是g(t)时刻x到O的测地距离函数。 在第一章中,我们令如下曲率条件为(★)： 定理1-3(平均曲率流的局部Harnack估计)：如果在BR(O,t)×[0,R2]上面满足曲率条件(★),则在A(x,t)∈BR/2(O,t)×[0,R2],AV∈TpMn,我们可以找到一个只与n和C0有关的正常数B,使局部Harnack不等式成立：DtH+m(t)H2+2DH(V)+(Hab+m(t)gab)VaVb+BM(1+R2/R2-4d2)+1/t≥0. 定理1.4(平均曲率流中的nonconici估计)在定理1.3相同的条件下,在点(O,R2),我们有如下平均曲率的导数估计：{(1)|DH(V)|2≤CM3(Hab+m(t)gab)VaVb,当M≥1{(2)|DH(V)|2≤C(Hab+m(t)gab)VaVb, 当0≤M<1{(3)|DH(V)|=0 如果[DtH+m(t)H2{ +BM(1+/R2+1/t)](D,R2)=0{ 或者{ (Hab+m(t)gab)VaVb(O,R2)=0其中C只依赖于n和C0。Hk流的Harnack不等式第二章中我们讨论了欧氏空间中的Hk流上的Harnack不等式,并且到了一些推论。 我们首先来介绍一下Hk流的定义。 设Mn是一个黎曼流形, F0:Mn→Rn+1是一个Rn+1中浸入超曲面。若 F(·,t):Mn×[0,T)→Rn+1是一族单参数光滑超曲面的浸入映射,且满足方程：{ {(e)/(e)tF(x,t)=Hk(x,t)v, x∈Mn,t∈|0,T).{ F(x,0)=F0其中V是超曲面的内法向量。则我们称上述浸入映射F(·,t)是一个Hκ流的解。 F.Schulze在[30],仔细的研究了Hk流的短时间存在性,得到了如下结论定理2.1([30])：令F0:Mn→Rn+1是一个光滑的浸入映射,并且H(F0(Mn))>0。则存在唯一以F0为初值的光滑Hκ流解,存在时间为[0,T),其中T是极大存在时间。对于κ≥1,我们有T≥C(κ,n)-1(maxp∈M|A|(p,O))-(κ+1)。并且在1)当0<κ<1时,F0(Mn)是严格凸的； 2)当κ≥1时,F0(Mn)是弱凸的； 则曲面F(Mn,t)在t>0时是严格凸的,并且当t→T时,收缩成Rn+1中的一点。 在第二章中,Mt代表Hκ流的解,当t在解存在时间[0,T)内。在第二章和第三章中,我们假设Hk流的解满足以下条件。 基于以上的假设,我们得到了Hκ流的Harnack不等式。 定理2.4对任意满足条件(★★)的Hκ流的严格凸解,当t>0时,其中V为任意的切向量。 这就是Hκ流的微分Harnack不等式。我们可以通过在时空上的道路积分得到积分形式的Harnack不等式。 推论2.1对任意满足条件(★★)的Hκ流的严格凸解,t>0.对任意的0