本论文分为两部分,第二章,第三章和第四章为第一部分,主要围绕几类流体动力学方程组,即带阻尼的可压Euler方程组,可压磁流体动力学（MHD）方程组和稳态的可压液晶流动力学方程组,研究这三个偏微分方程组解的适定性问题。第五章为第二部分,主要围绕种群动态方程组,研究其逼近方程组强解的适定性问题以及平衡态的不稳定性态问题。在第二章中,我们考虑了三维带阻尼的可压Euler方程组的时间周期解。运用正则化逼近的方法和拓扑度理论,我们在周期域上证明了在小时间周期外力作用下时间周期解的存在性。再根据能量估计,得到了时间周期解的唯一性。在第三章中,我们考虑了三维不带热传导的可压磁流体动力学（MHD）方程组的Cauchy问题。结合局部解和先验估计,我们证明了稳态附近光滑解的全局存在唯一性,这里仅仅要求初值在稳态附近的Hl（l>3）范数小,不要求L1范数有界。在这个意义下,推广了文献[21]的结果。我们运用纯能量方法建立压强、速度和磁场强度的衰减估计。在此基础上,利用速度梯度的衰减率建立非耗散熵的一致有界估计,从而封闭先验估计。此外,我们还得到了解的衰减率。在第四章中,我们考虑了三维稳态可压液晶流动力学方程组的Dirichlet问题,其绝热指数γ>1。通过构造三重逼近问题,建立加权估计和采用弱收敛的方法,我们证明了弱解的存在性和一致有界性。在第五章中,我们考虑了两个相互作用种群的动态方程组。种群动态遵循守恒律,迁移通量由适应度决定,其动态方程组简称为适应度梯度方程组。我们正则化该方程组,运用Galerkin方法,证明了逼近方程组强解的整体存在性、正则性和唯一性。此外,我们还研究了适应度梯度方程组及其修正方程组的平衡态的Turing不稳定性。